গণিত

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৩০ দিনে। লোকসংখ্যা এবং দিনসংখ্যার এই অংকগুলো শর্টকাট সূত্রে খুব দ্রুত সমাধান করা যায়।

আমরা জানি, লোকসংখ্যা $\times$ দিনসংখ্যা = মোট কাজ। অর্থাৎ, $M_1 D_1 = M_2 D_2$

• প্রথম ক্ষেত্রে: $M_1 = 60$ জন এবং $D_1 = 18$ দিন
• দ্বিতীয় ক্ষেত্রে: $M_2 = 36$ জন, আমাদের দিনসংখ্যা ($D_2$) বের করতে হবে।

এখন সূত্রে মান বসিয়ে পাই:

$$D_2 = \frac{M_1 \times D_1}{M_2} = \frac{60 \times 18}{36} = 30$$

অর্থাৎ, ৩৬ জন লোকের কাজটি সম্পন্ন করতে মোট ৩০ দিন সময় লাগবে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৩৬। হিসেবটি একদম সহজ, নিচের ধাপগুলো লক্ষ্য করুন:

• প্রথমে, $4$-এর বর্গ = $4^2 = 16$।
• প্রশ্নমতে, কোনো সংখ্যার বর্গমূলের সাথে $10$ যোগ করলে যোগফল হবে $16$। সুতরাং, সংখ্যাটির বর্গমূল হলো $16 - 10 = 6$।
• যেহেতু বর্গমূল $6$, তাই মূল সংখ্যাটি হবে $6^2 = 36$।

সহজ কথায়, $36$-এর বর্গমূল $\sqrt{36} = 6$, আর $6$-এর সাথে $10$ যোগ করলে পাওয়া যায় $16$—যা $4$-এর বর্গের সমান।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ২৫। হিসাবটা একদম সহজ:

• প্রথমে, $5$-এর বর্গ হলো $5^2 = 25$।
• প্রশ্ন অনুযায়ী, কোনো সংখ্যার বর্গমূলের সাথে $20$ যোগ করলে তা $25$ হবে।
• তাহলে সংখ্যাটির বর্গমূল হবে: $25 - 20 = 5$।
• এখন, বর্গমূলকে বর্গ করলেই মূল সংখ্যাটি পাওয়া যাবে: $5^2 = 25$।

সুতরাং, নির্ণেয় সংখ্যাটি হলো ২৫।

এখানে সঠিক উত্তর হলো এক সমকোণ। জ্যামিতির মৌলিক নিয়ম অনুযায়ী, বৃত্তের যেকোনো স্পর্শবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক এবং ওই স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ সবসময় পরস্পরের ওপর লম্ব হয়।

• স্পর্শক ও স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের মধ্যে লম্ব সম্পর্ক থাকে।
• যেকোনো লম্ব কোণের পরিমাপ সবসময় $90^\circ$ হয়।
• আর আমরা জানি, $90^\circ$ কোণ মানেই হলো এক সমকোণ।

তাই স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবং স্পর্শকের অন্তর্ভুক্ত কোণ সর্বদাই $90^\circ$ বা এক সমকোণ।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 78।

একটু খেয়াল করলেই দেখবে, ধারাটি মূলত ত্রিভুজীয় সংখ্যার (Triangular Numbers) একটি সিরিজ। যেকোনো $n$-তম পদ বের করার দারুণ একটি শর্টকাট সূত্র রয়েছে:

$$T_n = \frac{n(n + 1)}{2}$$

• আমাদের ধারাটির দ্বাদশ পদ অর্থাৎ $n = 12$ বের করতে হবে।
• সূত্রে $n = 12$ বসালে পাই: $\frac{12 \times (12 + 1)}{2} = \frac{12 \times 13}{2} = 6 \times 13 = 78$

সুতরাং, ধারাটির ১২তম বা দ্বাদশ পদটি হলো 78।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ব্যাস।

বৃত্তের পরিধির যেকোনো দুটি বিন্দু যোগ করলে যে রেখাংশ পাওয়া যায়, তাকে জ্যা বলা হয়। কোনো জ্যা যখন ঠিক বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে অতিক্রম করে, তখন সেটি সবচেয়ে দীর্ঘ বা বড় আকার ধারণ করে। কেন্দ্রগামী এই সবচেয়ে বড় জ্যাটিকেই আমরা ব্যাস বলি।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৫ সেমি। বিষয়টি সমকোণী ত্রিভুজের একটি সহজ কনসেপ্ট দিয়ে চিন্তা করলেই বোঝা যায়:

• বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা-টিকে সমান দুই ভাগে বিভক্ত করে। তাই জ্যা-এর অর্ধেক দৈর্ঘ্য হবে $\frac{24}{2} = 12$ সেমি।
• এখন, বৃত্তের ব্যাসার্ধ ($13$ সেমি) হলো অতিভুজ এবং জ্যা-এর অর্ধেক ($12$ সেমি) হলো ভূমি। কেন্দ্র থেকে লম্বের দৈর্ঘ্য বের করতে পিথাগোরাসের সূত্র ব্যবহার করি:

$$\text{লম্বের দৈর্ঘ্য} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 \text{ সেমি}$$

শর্টকাট ট্রিক: সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত বা ট্রিপলেট $(5, 12, 13)$ মনে রাখলে অতিভুজ $13$ ও এক বাহু $12$ দেখে সরাসরি বলে দেওয়া যায় লম্বের দৈর্ঘ্য হবে ৫ সেমি।

কোনো বৃত্তে দুটি সমান জ্যা যদি পরস্পরকে ছেদ করে, তবে তাদের বিভক্ত অংশগুলো বা অনুরূপ খণ্ডাংশগুলোও পরস্পরের সমান হয়। এটি বৃত্তের একটি গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম।

প্রশ্নে $AB$ এবং $CD$ দুটি সমান জ্যা, যারা $P$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। ফলে জ্যা দুটি দুটি করে অংশে ভাগ হয়:

• বড় অংশ দুটি সমান হবে: $PA = PC$
• ছোট অংশ দুটি সমান হবে: $PB = PD$

সহজ কথায়, একটি জ্যা-এর টুকরো অপর জ্যা-এর সমান টুকরোর সাথে মিলে যায়। তাই এখানে $PB = PD$ সম্পর্কটি একদম সঠিক।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option D: ৫২৩.৬০ ঘন ইঞ্চি। ফুটবল যেহেতু একটি গোলক, তাই এর আয়তন বের করা খুবই সহজ।

সহজ নিয়মটি হলো:

• ফুটবলের ব্যাসার্ধ, $r = \frac{10}{2} = 5$ ইঞ্চি।
• গোলকের আয়তনের সূত্র: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$
• সূত্রে মান বসিয়ে পাই: $V = \frac{4}{3} \times 3.1416 \times 5^3 = \frac{4}{3} \times 3.1416 \times 125 \approx 523.60$ ঘন ইঞ্চি।

এখানে সঠিক উত্তর হলো জ্যা।

বৃত্তের পরিধির ওপর অবস্থিত যেকোনো দুটি বিন্দুকে একটি সরলরেখা দিয়ে যুক্ত করলে যে রেখাংশ পাওয়া যায়, তাকেই জ্যা বলে।

সহজ কথায়, বৃত্তের যেকোনো দুটি বিন্দুর সরাসরি সংযোজক রেখাই হলো উক্ত বৃত্তের জ্যা।