গণিত

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১০০ক/(ক + খ)। হিসাবটা খুবই সহজ:

• দ্রবণে লবণের পরিমাণ ক কেজি এবং পানির পরিমাণ খ কেজি।
• সুতরাং, লবণ ও পানি মিলে মোট দ্রবণের পরিমাণ = (ক + খ) কেজি।
• ঐকিক নিয়মে, (ক + খ) কেজি দ্রবণে লবণ থাকে ক কেজি।
• অতএব, ১০০ কেজি দ্রবণে বা শতকরা লবণের পরিমাণ হবে ১০০ক/(ক + খ)।

সহজ টেকনিক: শতকরা পরিমাণ বের করার নিয়ম হলো (নির্দিষ্ট উপাদানের পরিমাণ $\div$ মোট পরিমাণ) $\times$ ১০০। এখানে লবণের পরিমাণ 'ক' এবং মোট দ্রবণ '(ক + খ)', তাই লবণের শতকরা হার হবে ১০০ক/(ক + খ)।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 8। খুব সহজে অংকটি সমাধান করা যায়:

ধরি, অজানা সংখ্যাটি $x$। প্রশ্নানুসারে, $x$ এর $150\% = 12$

• আমরা জানি, $150\% = \frac{150}{100} = \frac{3}{2}$
• সুতরাং, $x \times \frac{3}{2} = 12$
• বা, $x = 12 \times \frac{2}{3}$
• অতএব, $x = 8$

শর্টকাট ট্রিক: যেকোনো সংখ্যার $150\%$ মানে হলো সংখ্যাটির $\frac{3}{2}$ গুণ। তাই $12$ কে $\frac{3}{2}$ দিয়ে ভাগ করলেই কাঙ্ক্ষিত সংখ্যাটি (8) পাওয়া যায়।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ২৫%। খুব সহজ একটা শর্টকাট নিয়মে এটি সমাধান করা যায়:

• ৮টি লেবু বিক্রি করলে লাভ থাকে $(10 - 8) = 2$ টি লেবুর দাম।
• সুতরাং, শতকরা লাভের হার = $\frac{2}{8} \times 100\% = 25\%$।

অর্থাৎ, টাকায় ১০টি কিনে ৮টি করে বিক্রি করলে মোট ২৫% লাভ হবে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৩৯৬ টাকা। শর্টকাট টেকনিকে এটি খুব সহজেই সমাধান করা সম্ভব:

• দুই বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য = $450 - 378 = 72$ টাকা।
• যেহেতু লাভ ক্ষতির $৩$ গুণ, তাই মোট অনুপাত = $1 + 3 = 4$ ভাগ।
• তাহলে, $১$ ভাগ বা ক্ষতির পরিমাণ = $\frac{72}{4} = 18$ টাকা।
• সুতরাং, ছাতাটির ক্রয়মূল্য = $378 + 18 = 396$ টাকা।

অর্থাৎ, ক্ষতি হওয়া বিক্রয়মূল্যের (৩৭৮ টাকা) সাথে ক্ষতি (১৮ টাকা) যোগ করলেই ছাতাটির আসল ক্রয়মূল্য ৩৯৬ টাকা পাওয়া যায়।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১০ বছরে। বিষয়টা খুব সহজ একটি শর্টকাট নিয়মেই বুঝে নেওয়া যায়:

• মোট সুদ নির্ণয়: সুদ-আসল থেকে আসল বাদ দিলে মোট সুদ পাওয়া যায় $17776 - 8888 = 8888$ টাকা।
• লজিক: এখানে মোট সুদ ঠিক আসলের সমান, অর্থাৎ সুদের পরিমাণ আসলের $100\%$।
• সময় বের করার নিয়ম: বার্ষিক সুদের হার $10\%$ হলে, $100\%$ সুদ হতে সময় লাগবে $\frac{100}{10} = 10$ বছর।

সুদের সূত্র দিয়ে হিসাব করলেও সময় $n = \frac{8888 \times 100}{8888 \times 10} = 10$ বছর।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৩২০০ টাকা। সহজ সমীকরণের মাধ্যমে সমাধানটি দেখে নেওয়া যাক:

ধরি, এক অংশের পরিমাণ $x$ টাকা।

• প্রশ্নমতে, $x \times \frac{5}{100} + (5600 - x) \times \frac{4}{100} = 256$
• $\implies \frac{5x + 22400 - 4x}{100} = 256$
• $\implies x + 22400 = 25600$
• $\implies x = 25600 - 22400$
• $\implies x = 3200$

সুতরাং, নির্ণেয় টাকার পরিমাণ ৩২০০ টাকা।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option D: ৭৫০ টাকা। একটি সহজ শর্টকাট নিয়মে অংকটি চিন্তা করা যাক:

• ১ বছরে সুদ $6\%$, তাই $7$ বছরের মোট সুদ হবে $6 \times 7 = 42\%$।
• আসলকে $100\%$ ধরলে, সুদে-আসল দাঁড়ায় $100\% + 42\% = 142\%$।
• প্রশ্নমতে, $142\% = 1065$ টাকা।
• অতএব, আসল ($100\%$) $= \frac{1065 \times 100}{142} = 750$ টাকা।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $\emptyset$ (ফাঁকা সেট)। কারণ বিষয়টা খুব সহজ:

• $A - B$ বলতে বোঝায় $A$ সেটের এমন সব উপাদান, যা $B$ সেটে নেই।
• অর্থাৎ, $(A - B)$ সেটের কোনো উপাদানের সাথেই $B$ সেটের উপাদানের মিল থাকা সম্ভব নয়।
• যেহেতু দুটি সেটের মধ্যে কোনো সাধারণ বা কমন (common) উপাদান নেই, তাই এদের ছেদ বা ইন্টারসেকশন হবে একটি ফাঁকা সেট, অর্থাৎ $(A - B) \cap B = \emptyset$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো {36}। সহজ নিয়মে সমাধানটি বুঝে নেওয়া যাক:

• যেহেতু ভাগ করলে অবশিষ্ট থাকে, তাই নির্ণেয় সংখ্যাটি অবশ্যই অবশিষ্টের চেয়ে বড় হতে হবে।
• অবশিষ্ট বাদ দিলে নিঃশেষে বিভাজ্য সংখ্যা দুটি পাওয়া যায় $288$ এবং $396$।
• $288$ এবং $396$-এর গ.সা.গু (গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক) হলো $36$।
• যেহেতু $36$ সংখ্যাটি নির্ধারিত শর্ত পূরণ করে, তাই সেটের একমাত্র উপাদান হবে $36$।

সুতরাং, নির্ণেয় সেট হলো {36}।

এখানে সঠিক উত্তর হলো জোড় সংখ্যা। কারণ যেকোনো জোড় সংখ্যাকে বর্গ বা স্কয়ার করলে প্রাপ্ত ফলাফলটি সবসময় একটি জোড় সংখ্যাই হয়।

সহজ কয়েকটি উদাহরণের মাধ্যমে দেখে নেওয়া যাক:

• $2^2 = 4$
• $4^2 = 16$
• $6^2 = 36$

গাণিতিক নিয়মে, যেকোনো জোড় সংখ্যাকে $2n$ হিসেবে বিবেচনা করলে তার বর্গ হবে $(2n)^2 = 4n^2 = 2(2n^2)$। যেহেতু ফলাফলটি সবসময় $2$ দ্বারা বিভাজ্য, তাই জোড় সংখ্যার বর্গও একটি জোড় সংখ্যা।