গণিত

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৩ দিন।

যেহেতু মোট আয়ের পরিমাণ (৭২০ টাকা) একই থাকছে, তাই শ্রমিকের সংখ্যার সাথে দিনের সম্পর্কটি হলো ব্যস্তানুপাতিক। অর্থাৎ শ্রমিক বাড়লে একই টাকা আয় করতে কম দিন সময় লাগবে।

শর্টকাট নিয়মে হিসাবটি খুব সহজে করা যায়:

• সূত্র: $M_1 \times D_1 = M_2 \times D_2$
• মান বসিয়ে পাই: $9 \times 4 = 12 \times D_2$
• বা, $D_2 = \frac{9 \times 4}{12} = 3$ দিন।

সুতরাং, ১২ জন শ্রমিক ঐ পরিমাণ টাকা আয় করতে ৩ দিন সময় নেবে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো কোনোটিই নয়। হিসেবটা খুব সহজ, নিচে দেখে নেওয়া যাক:

• ৩০ জন ছাত্রের ৩২ দিনের মোট খাবার = $30 \times 32 = 960$ জনের ১ দিনের খাবার।
• যেহেতু খাবারটি ২০ দিনে শেষ হয়েছে, তাই এখন মোট ছাত্র সংখ্যা = $\frac{960}{20} = 48$ জন।
• সুতরাং, নতুন ছাত্র এসেছে = $48 - 30 = 18$ জন।

যেহেতু সঠিক উত্তরটি হলো ১৮ জন, কিন্তু অপশনে ১৮ সংখ্যাটি নেই, তাই সঠিক উত্তর হবে কোনোটিই নয়।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ২০ দিন। হিসাবটা একদম সহজ:

• ৫ দিন চলে যাওয়ার পর ৪০ জন ছাত্রের খাবার বাকি থাকে $30 - 5 = 25$ দিনের।
• নতুন ১০ জন ছাত্র আসায় মোট ছাত্র সংখ্যা হয় $40 + 10 = 50$ জন।
• সুতরাং, ঐ অবশিষ্ট খাদ্যে ৫০ জন ছাত্রের চলবে $\frac{40 \times 25}{50} = 20$ দিন।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৪৬ টাকা। সহজ একটি ট্রিক ব্যবহার করে বিষয়টি খুব দ্রুত সমাধান করা যায়:

• কলমের দাম $15$ টাকা বাড়ানো এবং বইয়ের দাম $14$ টাকা কমানো হলে নতুন মোট দাম হবে: $95 + 15 - 14 = 96$ টাকা।
• নতুন অবস্থায় কলমের দাম বইয়ের দামের $2$ গুণ, অর্থাৎ অনুপাতটি $2 : 1$ (মোট $2 + 1 = 3$ ভাগ)।
• সুতরাং, বইটির নতুন দাম হবে: $\frac{96}{3} = 32$ টাকা।
• যেহেতু বইটির দাম $14$ টাকা কমানো হয়েছিল, তাই বইটির প্রকৃত মূল্য: $32 + 14 = 46$ টাকা।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 46 টাকা। খুব সহজেই একটি ছোট সমীকরণ বানিয়ে এটি সমাধান করা যায়:

• ধরি, বইটির মূল্য $x$ টাকা। তাহলে কলমের মূল্য হবে $(95 - x)$ টাকা।
• প্রশ্নমতে, কলমের দাম ১৫ টাকা বাড়লে এবং বইয়ের দাম ১৪ টাকা কমলে, নতুন অবস্থায় কলমের দাম বইয়ের দামের দ্বিগুণ হবে।
• সুতরাং সমীকরণটি দাঁড়ায়: $(95 - x) + 15 = 2(x - 14)$
• বা, $110 - x = 2x - 28$
• বা, $3x = 138$
• বা, $x = 46$

অতএব, বইটির মূল্য 46 টাকা।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৪৩ টাকা। হিসাবটি একদম সহজ:

• ১২ দিনের মোট আয় = $504$ টাকা।
• প্রথম ৪ দিনের মোট আয় = $4 \times 40 = 160$ টাকা।
• বাকি ($12 - 4$) বা $8$ দিনের মোট আয় = $504 - 160 = 344$ টাকা।
• সুতরাং, বাকি ৮ দিনের গড় আয় = $\frac{344}{8} = 43$ টাকা।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 50। ১ থেকে যেকোনো ক্রমিক (পরপর) সংখ্যার গড় বের করার নিয়মটি খুবই সহজ।

সহজ শর্টকাট ট্রিক: প্রথম সংখ্যা ও শেষ সংখ্যা যোগ করে ২ দিয়ে ভাগ করলেই সরাসরি গড় পাওয়া যায়।

• প্রথম সংখ্যা = $1$
• শেষ সংখ্যা = $99$
• গড় $= \frac{1 + 99}{2} = \frac{100}{2} = 50$

তাই ১ থেকে ৯৯ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর গড় হলো 50।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৮৯। অংকটি খুব সহজেই সমাধান করা যায়:

• ৪টি খেলায় মোট প্রয়োজনীয় রান: $4 \times 87 = 348$
• প্রথম ৩টি খেলায় করা মোট রান: $82 + 85 + 92 = 259$
• চতুর্থ খেলায় রান করতে হবে: $348 - 259 = 89$

সুতরাং, চতুর্থ খেলায় তাকে ঠিক ৮৯ রান করতে হবে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ২২ টাকা দরে। হিসাবটা খুব সহজ, চলুন ধাপে ধাপে দেখে নেই:

• ১৫ ডজন কলার মোট দাম: $15 \times 21 = 315$ টাকা
• ২০ ডজন কলার মোট দাম: $20 \times 14 = 280$ টাকা
• মোট $(15 + 20) = 35$ ডজন কলার মোট কেনাদাম: $315 + 280 = 595$ টাকা
• সুতরাং, গড়ে ১ ডজন কলার কেনাদাম: $\frac{595}{35} = 17$ টাকা

এখন, ডজন প্রতি ৫ টাকা লাভ করতে হলে বিক্রয়মূল্য হবে: $17 + 5 = 22$ টাকা।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৭০। নিয়মটা বেশ সহজ:

যেহেতু সংখ্যাটির সাথে ২ যোগ করলে যোগফল ১২, ১৮ এবং ২৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে, তাই প্রথমে সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু. বের করে সেখান থেকে ২ বিয়োগ করতে হবে।

• ১২, ১৮ এবং ২৪ এর ল.সা.গু. হলো $72$।
• সুতরাং, নির্ণেয় লঘিষ্ঠ সংখ্যাটি হবে: $72 - 2 = 70$।