গণিত

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option D: \(x = \pm \sqrt{2}\)। পরমমানের (Absolute Value) নিয়ম জানা থাকলে এটি একদম এক সেকেন্ডের বিষয়:

• আমরা জানি, পরমমানের সূত্র অনুযায়ী \(|x| = a\) হলে \(x = \pm a\) হয়।
• প্রশ্নটিতে দেওয়া আছে, \(|x| = \sqrt{2}\)।
• পরমমানের চিহ্ন তুলে দিলে মানটি ধনাত্মক (+) বা ঋণাত্মক (-) উভয়ই হতে পারে।
• সুতরাং, সমাধানটি হবে \(x = \pm \sqrt{2}\)।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 7। সংখ্যালেখায় যেকোনো দুটি বিন্দুর মধ্যকার দূরত্ব নির্ণয় করার নিয়মটি খুবই সহজ।

সহজ শর্টকাট পদ্ধতি:

• বড় সংখ্যাটি থেকে ছোট সংখ্যাটি বিয়োগ করুন: \( 4 - (-3) \)
• আমরা জানি, মাইনাসে মাইনাসে প্লাস হয়: \( 4 + 3 = 7 \)

সুতরাং, -3 এবং 4 এর মধ্যকার দূরত্ব হলো 7 একক (মনে রাখবেন, দূরত্ব সব সময় ধনাত্মক বা পজিটিভ হয়)।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৩।

সংখ্যা রেখায় যেকোনো দূরত্বের মান সবসময় ধনাত্মক (Positive) হয়। পরম মান বা Absolute Value-এর নিয়ম অনুযায়ী দূরত্ব কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না।

• যেকোনো দূরত্বের ক্ষেত্রে আমরা ঋণাত্মক চিহ্ন বাদ দিয়ে শুধুমাত্র মানের ধনাত্মক অংশটি নিই।
• পরম মানের নিয়ম অনুযায়ী পরম মান দাঁড়ায় \(|-3| = 3\) একক।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option C: x = ± 10। পরমমানের (Absolute Value) সহজ নিয়মে সমীকরণটি সহজেই সমাধান করা যায়:

• প্রথমে সমীকরণটি লিখি: \( \frac{|x|}{2} = 5 \)
• আড়াআড়ি গুণ করে পাই: \( |x| = 5 \times 2 = 10 \)
• আমরা জানি, পরমমান বা Absolute Value তুলে দিলে অপর পাশে \( \pm \) চিহ্ন বসে (কারণ \( |x| = a \) হলে \( x = \pm a \) হয়)।
• সুতরাং, \( x = \pm 10 \)

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৫৪। কারণ হিসাবটি খুব সহজ!

যেহেতু মাঠের বাইরে চারদিকে রাস্তা আছে, তাই মাঠের দৈর্ঘ্যের দুই পাশেই ২ মিটার করে অতিরিক্ত যোগ হবে।

• মাঠের নিজস্ব দৈর্ঘ্য = $50$ মিটার
• দুই পাশে রাস্তার মোট চওড়া = $2 \times 2 = 4$ মিটার
• সুতরাং, রাস্তাসহ মাঠের মোট দৈর্ঘ্য = $50 + 4 = 54$ মিটার

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option B: ৭৩ জন। খুব সহজ একটি শর্টকাট নিয়মে অংকটি সমাধান করা যায়:

• কমপক্ষে একটি বিষয়ে ফেলের হার: $(20 + 18 - 11)\% = 27\%$
• উভয় বিষয়ে পাশের হার: $(100 - 27)\% = 73\%$

অর্থাৎ, শতকরা ৭৩ জন পরীক্ষার্থী উভয় বিষয়ে পাশ করেছে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option D: 75%। হিসাবটা খুবই সহজ:

• মোট ছাত্র $120$ জনের মধ্যে ফেল করেছে $30$ জন, অর্থাৎ পাশ করেছে $120 - 30 = 90$ জন।
• সুতরাং, পাশের হার = $\frac{90}{120} \times 100\% = 75\%$।

স্মার্ট ট্রিক: $120$ জনের মধ্যে $30$ জন মানে ঠিক চারভাগের একভাগ বা $25\%$ ছাত্র ফেল করেছে। তাই বাকি $100\% - 25\% = 75\%$ ছাত্র পাশ করেছে!

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option B: 10%। একটি সহজ শর্টকাট সূত্র ব্যবহার করে অংকটি এক লাইনেই সমাধান করা যায়:

• কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাস করেছে = (গণিতে পাস + বাংলায় পাস) − উভয় বিষয়ে পাস = $(80 + 70 - 60)\% = 90\%$
• সুতরাং, উভয় বিষয়ে ফেল করেছে = $(100 - 90)\% = 10\%$

সহজ কথায়, মোট পরীক্ষার্থীর মধ্যে $90\%$ অন্তত একটি বা উভয় বিষয়ে পাস করেছে, তাই বাকি $10\%$ শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 75। সহজভাবে চিন্তা করলেই অংকটি একদম সহজে সমাধান করা যায়:

• যেকোনো সংখ্যা নিজেই তার $100\%$।
• সংখ্যার $40\%$ এর সাথে $45$ যোগ করলে পুরো সংখ্যাটি ($100\%$) পাওয়া যায়।
• তার মানে, অবশিষ্ট $(100\% - 40\%) = 60\%$ এর মানই হলো $45$।

তাহলে, $60\% = 45$ হলে, পুরো সংখ্যাটি ($100\%$) হবে:

$$\frac{45 \times 100}{60} = 75$$

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option D: 45%। অংকটি শর্টকাট নিয়মে খুব সহজেই সমাধান করা যায়।

প্রথমে যেকোনো একটি বা উভয় বিষয়ে মোট কতজন ফেল করেছে তা বের করে নিই:

• মোট ফেলের হার = বাংলায় ফেল + অঙ্কে ফেল − উভয় বিষয়ে ফেল
• মোট ফেল = $40\% + 25\% - 10\% = 55\%$
• সুতরাং, উভয় বিষয়ে কৃতকার্য (পাস) করেছে = $100\% - 55\% = 45\%$

খুব সহজ! অর্থাৎ ক্লাসের 45% ছাত্র উভয় বিষয়ে পাস করেছে।