গণিত

দেওয়া আছে, a + b = 11 এবং a - b = 7 আমরা জানি, ab = (a + b/2)2 - - (a - b/2)2 = (11/2)2 - - (7/2)2 = 121/4 - - 49/4 = 121 - 49/4 = 72/4 = 18

এখানে, মোট পদ n = 18 ∴ সমষ্টি S = n(n + 1)/2 = 18(18 + 1)/2 = (18×19)/2 = 171

দু'টি সংখ্যার যোগফল ৮ সংখ্যা দুটির অনুপাত ৩ঃ১ অনুপাতদ্বয়ের সমষ্টি ৪ সুতরাং প্রথম সংখ্যাটি ৮ এর ৩/৪ = ৬ দ্বিতীয় সংখ্যা টি ৮ এর ১/৪ = ২ সংখ্যা দুটির গুণফল ৬*২ = ১২

৫% ক্ষতিতে বিক্রয় মূল্য = (১০০ - ৫) টাকা = ৯৫ টাকা বিক্রয় মূল্য ৯৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা " " ১ " " '" ১০০/৯৫ টাকা ∴" " ২৩৭৫ " " '" ( ১০০× ২৩৭৫)/৯৫ টাকা = ২৫০০ টাকা ৬% লাভে বিক্রয়মূল্য (১০০ + ৬) টাকা = ১০৬ টাকা ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ১০৬ টাকা ∴ " ২৫০০ টাকা হলে " (১০৬ × ২৫০০)/১০০ টাকা = ২৬৫০ টাকা।

৩৫ জন শ্রমিকের লাগে ১৬ দিন ১ জন শ্রমিকের লাগে ১৬ x ৩৫ দিন ∴ ২৮ জন শ্রমিকের লাগে = {(১৬×৩৫)/২৮} দিন = ২০ দিন৷

যে ত্রিভুজের তিনটি বাহুই পরস্পর সমান তাকে সমবাহু ত্রিভুজ বলে। সমবাহু ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্য ১। তিনটি বাহু সমান হয়। তিনটি কোণ সমান হয়। ২। মধ্যমাত্রয় পরস্পর সমান ৩। প্রতিটি কোণের পরিমান ৬০ ডিগ্রি হয়, যেহেতু তিনটি বাহুর পরিমান সমান। ৪। সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বহি:স্থ কোণের মান ১২০ ডিগ্রি। ৫। সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণ সূক্ষ্ম কোণ। ৬। সমবাহু ত্রিভুজের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু যোগ করলে যে ত্রিভুজটি পাওয়া যায়, সেটিও সমবাহু ত্রিভুজ।

For rate - time - distance questions, try to reduce the question to as few unknown quantities as possible. Instead of a separate r, t, and d for each train, look for commonalities: Both trains travel the same distance, so there's only one "d" We don't know the time, but we know that Train Y took less time, since it left an hour and half later. So if Train X took t hours to travel some distance, Train Y only took (t - 1.5) hours. The rates aren't given, but we know that train Y was 4/3 the rate of train X. Let's set it up. Since rate*time = distance and the distances are equal, we can set Train X's rate * time equal to Train Y's rate * time xt = 43x(t−1.5)xt = 43x(t−1.5) Working through the problem, we get xt = 43xt−4/3∗1.5xt = 43xt−4/3∗1.5 here it can be helpful to recognize that 1.5 is just 3232, and cancel out the 3's: 43∗32 = 243∗32 = 2 xt = 43xt−2xt = 43xt−2 Subtract xt from both sides, and add 2 to both sides, and we get: 2 = 13t2 = (1/3)t 6 = t So, adding 6 hours to Train X's starting time, we get 4:00 pm as the time that train Y will catch train X.

বৃত্তের কোনো বিন্দুতে স্পর্শক ও ঐ স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ পরস্পর লম্বভাবে অবস্থিত। মনে করি O কেন্দ্রীয় কোনো বৃত্তের P বিন্দুতে AB স্পর্শক এবং OP , P বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ। আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে OP এবং AB পরস্পর লম্ব। অঙ্কন : AB স্পর্শকের উপর অপর যেকোনো একটি বিন্দু Q নেওয়া হল। O , Q যুক্ত করা হল। প্রমাণ : যেহেতু স্পর্শক AB এর উপরে স্পর্শবিন্দু P ব্যাতিত অপর যেকোনো একটি বিন্দু Q বৃত্তের বাইরে অবস্থিত , সুতরাং OQ বৃত্তটিকে একটি বিন্দুতে ছেদ করবে। মনে করি ছেদবিন্দু হল R . অতএব OR < OQ ( যেহেতু R বিন্দু O , Q এর অন্তর্বর্তী ) আবার OR = OP .( একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ) অতএব OP < OQ যেহেতু Q বিন্দু AB এর উপর যেকোনো বিন্দু , তাই O কেন্দ্র থেকে AB এর উপর যত রেখাংশ অঙ্কন করা যায় OP তাদের মধ্যে ক্ষুদ্রতম হবে। অতএব OP এবং AB পরস্পর লম্ব।

১৮ দিনের খাদ্য মজুদ আছে ৪ জন সদস্যের ১ " " " " ১৮×৪ " " ∴ ১২ " " " "(১৮×৪)/১২ " " ∴ মেহমান এসেছিল (৬ - ৪) জন = ২ জন

সমষ্টি = (শেষ পদ + ১ম পদ )/২× পদ সংখ্যা = (৯৯ + ১)/২×৯৯ = ১০০/২×৯৯ = ৫০×৯৯ = ৪৯৫০