গণিত

এখানে সঠিক উত্তর হলো 80 লিটার। একটি সহজ শর্টকাট টেকনিক দিয়ে খুব দ্রুতই এই ধরনের অংকের সমাধান করা যায়।

যখন কোনো মিশ্রণের অনুপাত ঠিক উল্টে যায় (যেমন $7:3$ থেকে $3:7$), তখন নতুন উপাদান মেশানোর পরিমাণ বের করার সূত্রটি হলো:

মেশানো পেট্রোলের পরিমাণ = $\frac{\text{মোট পরিমাণ}}{\text{অনুপাতের ছোট সংখ্যা}} \times (\text{অনুপাতের পার্থক্য})$

• এখানে মোট পরিমাণ = $60$ লিটার
• অনুপাতের ছোট সংখ্যা = $3$
• অনুপাতের পার্থক্য = $(7 - 3) = 4$

সুতরাং, প্রয়োজনীয় পেট্রোলের পরিমাণ = $\frac{60}{3} \times 4 = 20 \times 4 = 80$ লিটার।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ২৫,০০০ টাকা। বিষয়টি খুব সহজে অনুপাতের পার্থক্য থেকে হিসাব করে ফেলা যায়:

• আয় ও ব্যয়ের অনুপাত $5 : 3$ হলে, সঞ্চয়ের অনুপাত হবে $(5 - 3) = 2$ ভাগ।
• প্রশ্ন অনুযায়ী, এই $2$ ভাগের মানই হলো $10,000$ টাকা।
• তাহলে $1$ ভাগের মান হবে $\frac{10000}{2} = 5,000$ টাকা।
• যেহেতু ব্যক্তির আয় $5$ ভাগ, তাই তার মোট আয় হবে $5 \times 5,000 = 25,000$ টাকা।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৪৫, ৬০। চমৎকার একটি শর্টকাট ট্রিক দিয়ে অংকটি খুব সহজেই সমাধান করা যায়:

• ধরি, সাধারণ গুণনীয়ক $x$। তাহলে সংখ্যা দুটি হলো $3x$ এবং $4x$।
• সংখ্যা দুটির ল.সা.গু হবে $3 \times 4 \times x = 12x$।
• প্রশ্নমতে, $12x = 180$, সুতরাং $x = \frac{180}{12} = 15$।
• তাহলে ১ম সংখ্যাটি $3 \times 15 = 45$ এবং ২য় সংখ্যাটি $4 \times 15 = 60$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো একটি ভগ্নাংশ।

অনুপাত মূলত দুটি সমজাতীয় রাশির তুলনা প্রকাশ করে। যদি দুটি রাশি $a$ এবং $b$ হয়, তবে তাদের অনুপাতকে আমরা $a : b$ আকারে লিখি, যাকে গাণিতিকভাবে খুব সহজেই $\frac{a}{b}$ একটি ভগ্নাংশ হিসেবে প্রকাশ করা যায়। তাই প্রতিটি অনুপাতই প্রকৃতপক্ষে একটি ভগ্নাংশ।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৩০ মিটার। অনুপাতের সহজ নিয়ম ব্যবহার করে আমরা দ্রুত উত্তরটি বের করতে পারি:

• অনুপাতের পদগুলোর যোগফল = $3 + 7 + 10 = 20$
• এখানে সবচেয়ে বড় অনুপাতটি হলো $10$, অর্থাৎ দীর্ঘতম অংশটি হবে মোট দৈর্ঘ্যের $\frac{10}{20}$ অংশ।
• সুতরাং, দীর্ঘতম অংশের দৈর্ঘ্য = $60 \times \frac{10}{20} = 30$ মিটার।

এখানে সঠিক উত্তর হলো স্থূলকোণ। বিষয়টিকে সহজে এভাবে চিন্তা করা যায়:

• সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান দুই বাহুর বিপরীত কোণ দুটি (অর্থাৎ ভূমি সংলগ্ন কোণ) সবসময় সূক্ষ্মকোণ বা $90^\circ$-এর চেয়ে ছোট হয়।
• বাহু দুটিকে নিচের দিকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ তৈরি হয়, তার সাথে অন্তঃস্থ সূক্ষ্মকোণটি মিলে একটি সরলরেখা অর্থাৎ $180^\circ$ তৈরি করে।
• যেহেতু অন্তঃস্থ কোণটি $90^\circ$-এর কম, তাই $180^\circ$ থেকে তা বিয়োগ করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণটি সবসময় $90^\circ$-এর চেয়ে বড় অর্থাৎ স্থূলকোণ হবে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $40^\circ$। কারণ যেকোনো ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি সবসময় $180^\circ$ হয়।

হিসেবটা খুব সহজ:

• সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণটি হলো $90^\circ$
• প্রশ্নে দেওয়া কোণটি হলো $50^\circ$
• অতএব, অপর কোণটি হবে = $180^\circ - (90^\circ + 50^\circ) = 40^\circ$

শর্টকাট ট্রিক: সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ($90^\circ$) বাদ দিলে বাকি দুটি কোণের যোগফল সবসময় $90^\circ$ হয়। তাই সরাসরি $90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$ বিয়োগ করেই উত্তর বের করে ফেলা যায়!

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১২টি। কারণ হিসাবটা একদম সহজ:

• একটি ত্রিভুজের বাহু থাকে ৩টি, তাই বাহুগুলোর ওপর মোট ৩টি বর্গক্ষেত্র আঁকা যাবে।
• আমরা জানি, ১টি বর্গক্ষেত্রে ৪টি সমকোণ (৯০°) থাকে।
• তাহলে ৩টি বর্গক্ষেত্রে মোট সমকোণ তৈরি হবে $3 \times 4 = 12$ টি।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১০১। ধারাটির পরপর দুটি সংখ্যার পার্থক্য লক্ষ্য করলেই প্যাটার্নটি সহজে বোঝা যাবে:

• $11 - 8 = 3$
• $17 - 11 = 6$
• $29 - 17 = 12$
• $53 - 29 = 24$

দেখাই যাচ্ছে, প্রতিটি ধাপের পার্থক্য তার আগের পার্থক্যের দ্বিগুণ করে বাড়ছে ($3 \to 6 \to 12 \to 24$)।

সেই অনুযায়ী পরবর্তী পার্থক্যটি হবে $24 \times 2 = 48$।

অতএব, ধারার পরবর্তী সংখ্যাটি হবে: $53 + 48 = 101$

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৬ সে. মি.। একাধিক ঘনক গলিয়ে নতুন একটি ঘনক তৈরি করলে, ছোট ঘনকগুলোর আয়তনের যোগফলই হয় নতুন ঘনকের মোট আয়তন।

সহজ ধাপে হিসাবটি দেখে নেওয়া যাক:

• ছোট তিনটি ঘনকের মোট আয়তন = $3^3 + 4^3 + 5^3 = 27 + 64 + 125 = 216$ ঘন সে. মি.
• ধরি, নতুন ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য $a$ সে. মি.। তাহলে এর আয়তন হবে $a^3$ ঘন সে. মি.।
• প্রশ্নমতে, $a^3 = 216$
• অতএব, বাহুর দৈর্ঘ্য $a = \sqrt[3]{216} = 6$ সে. মি.।

সুতরাং, নতুন ঘনকটির বাহুর দৈর্ঘ্য হবে ৬ সে. মি.।