গণিত

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৪০০০ টাকা। অনুপাতের সহজ শর্টকাট ব্যবহার করে খুব সহজেই এটি সমাধান করা যায়:

• ধরি, রহিমের বেতন $100$ টাকা হলে করিমের বেতন হবে $150$ টাকা।
• তাহলে করিম ও রহিমের বেতনের অনুপাত $= 150 : 100 = 3 : 2$।
• অনুপাতের মোট ভাগ $= 3 + 2 = 5$।
• সুতরাং, মোট $10000$ টাকার মধ্যে রহিমের বেতন $= 10000 \times \frac{2}{5} = 4000$ টাকা।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 20%। হিসেবটি খুব সহজ:

• রেয়াতের পরিমাণ = $12.50 - 10 = 2.50$ টাকা।
• শতকরা রেয়াত = $\frac{2.50}{12.50} \times 100\% = 20\%$।

অর্থাৎ, দোকানদার আপনাকে মোট মূল্যের উপর 20% ছাড় বা রেয়াত দিয়েছেন।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 6.4%। অংকটি খুব সহজেই ধাপে ধাপে সমাধান করা যায়:

• ধরি, মোট ভোটার সংখ্যা = $100$ জন।
• তাহলে বৃদ্ধ ভোটার সংখ্যা হলো $100$-এর $8\%$ = $8$ জন।
• এই $8$ জন বৃদ্ধ ভোটারের মধ্যে $80\%$ ভোট দিয়েছেন। সুতরাং ভোট দেওয়া বৃদ্ধ ভোটারের সংখ্যা: $$8 \times \frac{80}{100} = \frac{640}{100} = 6.4$$

শর্টকাট নিয়ম: সরাসরি $8\%$ এর $80\%$ হিসেব করলেও দ্রুত উত্তর চলে আসে, অর্থাৎ $8 \times 0.80 = \mathbf{6.4\%}$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $\frac{100}{11}$। হিসাবটা খুব সহজেই চিন্তা করা যায়:

• ধরি, স্ত্রীর বয়স $100$ বছর।
• যেহেতু স্বামী স্ত্রীর চেয়ে $10\%$ বড়, তাই স্বামীর বয়স $100 + 10 = 110$ বছর।
• তাহলে স্ত্রী স্বামীর চেয়ে ছোট $110 - 100 = 10$ বছর।

এখন, স্বামীর বয়সের সাপেক্ষে স্ত্রী কত শতাংশ ছোট ($x$) তা বের করি:

$$x = \frac{10}{110} \times 100 = \frac{100}{11}\%$$

এছাড়া শর্টকাট সূত্র $\frac{r}{100 + r} \times 100\%$ ব্যবহার করেও সহজে মানটি পাওয়া যায় $\frac{100}{11}$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 52%। খুব সহজে শর্টকাট উপায়ে হিসাবটি করে ফেলা যায়—

• ধরি, মোট পরীক্ষার্থীর সংখ্যা $100$ জন।
• তাহলে ছাত্রী সংখ্যা $40$ জন এবং ছাত্র সংখ্যা $100 - 40 = 60$ জন।
• ছাত্রী পাশ করেছে: $40$ জনের $40\% = \frac{40 \times 40}{100} = 16$ জন।
• ছাত্র পাশ করেছে: $60$ জনের $60\% = \frac{60 \times 60}{100} = 36$ জন।
• সর্বমোট পাশ করেছে: $16 + 36 = 52$ জন।

যেহেতু $100$ জনের মধ্যে মোট $52$ জন পাশ করেছে, তাই মোট পাশের হার 52%।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ২০%। কোনো দ্রব্যের দাম বাড়লেও যদি মোট খরচ অপরিবর্তিত রাখতে হয়, তবে একটি সহজ শর্টকাট টেকনিক দিয়ে খুব দ্রুত ব্যবহার কমানোর হার বের করা যায়।

শর্টকাট সূত্র:

ব্যবহার কমানোর হার = $\left( \frac{r}{100 + r} \times 100 \right)\%$

এখানে, চিনির দাম বৃদ্ধির হার $r = 25$

• সূত্রে মান বসিয়ে পাই = $\left( \frac{25}{100 + 25} \times 100 \right)\%$
• $= \left( \frac{25}{125} \times 100 \right)\%$
• $= 20\%$

অতএব, পরিবারটিকে চিনি খাওয়া বাবদ খরচ না বাড়িয়ে ব্যবহার ২০% কমাতে হবে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $\frac{100}{11}\%$। এই জাতীয় অংক একটি সহজ শর্টকাট সূত্রের মাধ্যমে মুহূর্তেই সমাধান করা যায়।

কোনো পণ্যের দাম $r\%$ বৃদ্ধি পেলে খরচ একই রাখতে ব্যবহার কমানোর সূত্রটি হলো:

$$\frac{r}{100 + r} \times 100$$

এখানে দাম বৃদ্ধির হার $r = 10$। সূত্রে মান বসিয়ে পাই:

• $\frac{10}{100 + 10} \times 100$
• $= \frac{10}{110} \times 100$
• $= \frac{100}{11}\%$

অর্থাৎ, চিনির ব্যবহার $\frac{100}{11}\%$ কমালে পরিবারের মোট খরচে কোনো পরিবর্তন হবে না।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ২৫%। কোনো জিনিসের দাম কমে গেলে মোট খরচ অপরিবর্তিত রাখতে এই সহজ শর্টকাট সূত্রটি ব্যবহার করা যায়:

• ব্যবহার বৃদ্ধির হার = $\frac{r}{100 - r} \times 100\%$
• এখানে, দাম কমার হার $r = 20$
• সুতরাং, ব্যবহার বাড়াতে হবে = $\frac{20}{100 - 20} \times 100\% = \frac{20}{80} \times 100\% = 25\%$

অর্থাৎ, কাপড়ের ব্যবহার ২৫% বাড়ালে খরচের কোনো পরিবর্তন হবে না।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৪% কমলো। এই ধরনের অংক শর্টকাট সূত্রের সাহায্যে খুব সহজেই সমাধান করা যায়।

যখন একটি মান হ্রাস পায় এবং অপরটি বৃদ্ধি পায়, তখন সার্বিক পরিবর্তনের ক্ষেত্রফল বা ব্যয়ের সূত্রটি হলো:

• শর্টকাট সূত্র: $a + b + \frac{a \times b}{100}$
• এখানে, মূল্য হ্রাস $a = -20$ এবং ব্যবহার বৃদ্ধি $b = 20$
• মান বসিয়ে পাই: $-20 + 20 + \frac{(-20) \times 20}{100}$
• $= 0 - \frac{400}{100} = -4\%$

উত্তর বিয়োগবোধক $(-)$ হওয়ায় এটি নির্দেশ করে যে চিনি বাবদ মোট ব্যয় ৪% কমেছে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 19%। এই ধরনের অংক শর্টকাট সূত্রের মাধ্যমে খুব সহজেই সমাধান করা যায়।

ধরি, বাসের ভাড়া হ্রাস $a = -15\%$ এবং যাত্রী বৃদ্ধি $b = +40\%$।

রাজস্ব পরিবর্তনের শতকরা হার নির্ণয়ের সূত্র:

এখন মান বসিয়ে পাই:

• $= -15 + 40 + \frac{(-15) \times 40}{100}$
• $= 25 - \frac{600}{100}$
• $= 25 - 6 = 19\%$

ফলাফল ধনাত্মক হওয়ায় মোট রাজস্ব 19% বৃদ্ধি পাবে।