গণিত

এখানে সঠিক উত্তর হলো 3735। হিসাবটা খুব সহজ, দেখে নেওয়া যাক:

• গাড়ি ও ঘোড়ার আগের মোট দাম ছিল: $1500 + 2000 = 3500$ টাকা।
• গাড়ির দাম $5\%$ বৃদ্ধিতে বাড়ে: $1500 \times \frac{5}{100} = 75$ টাকা।
• ঘোড়ার দাম $8\%$ বৃদ্ধিতে বাড়ে: $2000 \times \frac{8}{100} = 160$ টাকা।
• মোট দাম বৃদ্ধি পেল: $75 + 160 = 235$ টাকা।

অতএব, গাড়ি ও ঘোড়ার নতুন মোট মূল্য হবে: $3500 + 235 = 3735$ টাকা।

এখানে সঠিক উত্তর হলো শার্টের মূল্য ১৭৫ টাকা ও প্যান্টের মূল্য ৩৫০ টাকা। অংকটি খুব সহজে এভাবে সমাধান করা যায়:

• ধরি, শার্টের মূল্য $S$ টাকা এবং প্যান্টের মূল্য $P$ টাকা। প্রথম শর্তমতে, $S + P = 525$।
• দাম বৃদ্ধির পরিমাণ $= (568.75 - 525) = 43.75$ টাকা।
• শার্টে $5\%$ এবং প্যান্টে $10\%$ দাম বাড়ায়:
  $0.05S + 0.10P = 43.75$
  উভয়পক্ষকে $100$ দিয়ে গুণ করলে পাই, $5S + 10P = 4375$
  বা, $S + 2P = 875$ (উভয়পক্ষকে $5$ দিয়ে ভাগ করে)
• এখন, দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে প্রথম সমীকরণ বিয়োগ করি:
  $(S + 2P) - (S + P) = 875 - 525$
  অতএব, প্যান্টের মূল্য $P = 350$ টাকা।
• সুতরাং, শার্টের মূল্য $S = 525 - 350 = 175$ টাকা।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option C (P-১৭৫, S-৩৫০)। শর্টকাট নিয়মে খুব সহজেই সমাধানটি করা যায়:

• মোট মূল্য অপরিবর্তিত থাকে, তার মানে শার্টের ১০% মূল্য বৃদ্ধি এবং প্যান্টের ৫% মূল্য হ্রাস পরিমাণে সমান।
• ধরি, শার্টের মূল্য $S$ এবং প্যান্টের মূল্য $P$। তাহলে, $10\% \times S = 5\% \times P \implies \frac{S}{P} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$।
• অর্থাৎ, শার্ট ও প্যান্টের মূল্যের অনুপাত $1 : 2$।
• শার্টের পূর্বমূল্য $= 525 \times \frac{1}{1+2} = 175$ টাকা।
• প্যান্টের পূর্বমূল্য $= 525 \times \frac{2}{1+2} = 350$ টাকা।

এখানে সঠিক উত্তর হলো একটি ভগ্নাংশ।

সহজ কথায়, দুটি সমজাতীয় রাশি তুলনা করার জন্য একটি রাশি অপর রাশির কত গুণ বা কত অংশ—তা ভাগের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। আর এই গাণিতিক রূপটিই হলো অনুপাত।

• যেমন: $a$ এবং $b$ দুটি রাশি হলে তাদের অনুপাত লেখা হয় $a : b$ আকারে।
• গাণিতিকভাবে $a : b$ কে আমরা ভগ্নাংশ হিসেবে $\frac{a}{b}$ রূপেই প্রকাশ করে থাকি।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 75%। হিসাবটা খুবই সহজ:

মোট ১২০ জন ছাত্রের মধ্যে ৩০ জন ফেল করায়, পাস করেছে $120 - 30 = 90$ জন।

এখন পাসের শতকরা হার বের করতে:

• পাসের হার = $\frac{90}{120} \times 100\% = 75\%$

সুতরাং, পরীক্ষার্থীদের মধ্যে মোট পাসের হার হলো 75%।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৫০০ জন। শর্টকাট নিয়মে হিসাবটি খুব সহজেই করে ফেলা যায়:

• মোট পরীক্ষার্থী সবসময় $100\%$ ধরা হয়।
• ইংরেজিতে $85\%$ পাস করলে, ফেলের হার $= (100 - 85)\% = 15\%$।
• প্রশ্নমতে, এই $15\%$ ফেল সমান $75$ জন।
• অতএব, মোট পরীক্ষার্থী ($100\%$) $= \frac{75 \times 100}{15} = 500$ জন।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৬০০ জন। শর্টকাট নিয়মে খুব সহজেই অংকটি সমাধান করা যায়:

• ইংরেজীতে ফেলের হার: $100\% - 70\% = 30\%$
• বাংলায় ফেলের হার: $100\% - 80\% = 20\%$
• অন্তত একটি বিষয়ে ফেল করেছে: $(30 + 20 - 10)\% = 40\%$
• সুতরাং, উভয় বিষয়ে পাস করেছে: $100\% - 40\% = 60\%$

প্রশ্ন অনুযায়ী, উভয় বিষয়ে পাস করা $60\%$ পরীক্ষার্থীর সংখ্যা হলো $360$ জন।

অতএব, মোট পরীক্ষার্থীর সংখ্যা ($100\%$):

অর্থাৎ, ঐ স্কুলে মোট ৬০০ জন পরীক্ষার্থী পরীক্ষা দিয়েছে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ২০ জন। খুব সহজেই একটি চমৎকার শর্টকাট নিয়মে এটি বের করা যায়:

• কমপক্ষে যেকোনো একটি বিষয়ে পাস করেছে $= (70 + 60 - 40)\% = 90\%$
• তাহলে, উভয় বিষয়ে ফেলের হার $= (100 - 90)\% = 10\%$
• অতএব, মোট $200$ জনের মধ্যে উভয় বিষয়ে ফেলের সংখ্যা $= \frac{200 \times 10}{100} = \mathbf{20}$ জন।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৩০০ জন। খুব সহজে শর্টকাট নিয়মে হিসাবটি বুঝে নেওয়া যাক:

• যেহেতু পরীক্ষায় কেউ ফেল করেনি, তাই অন্তত একটি বিষয়ে হলেও পাস করেছে মোট $100\%$ পরীক্ষার্থী।
• উভয় বিষয়ে পাস করার শতকরা হার = $(90 + 85)\% - 100\% = 75\%$।
• প্রশ্নমতে, উভয় বিষয়ে পাস করেছে এই $75\%$ বা $225$ জন।
• সুতরাং, মোট পরীক্ষার্থীর সংখ্যা ($100\%$) = $\frac{225 \times 100}{75} = 300$ জন।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৫০০ জন। সহজ একটি শর্টকাট নিয়মে সমাধানটি দেখে নেওয়া যাক:

• ইংরেজিতে ফেল: $(100 - 70)\% = 30\%$
• বাংলায় ফেল: $(100 - 80)\% = 20\%$
• অন্তত একটি বিষয়ে ফেল: $(30 + 20 - 10)\% = 40\%$ (যেহেতু উভয় বিষয়ে $10\%$ ফেল)
• সুতরাং, উভয় বিষয়ে পাস: $(100 - 40)\% = 60\%$

প্রশ্নানুসারে, এই $60\%$ পরীক্ষার্থীর সংখ্যাই হলো $300$ জন।

অতএব, স্কুলে মোট পরীক্ষার্থী ($100\%$): $\frac{300 \times 100}{60} = \mathbf{500}$ জন।