গণিত

এখানে সমীকরণ দুটি সিদ্ধ করে খুব সহজেই সমাধান বের করা যায়।

• প্রথম সমীকরণ $ax - cy = 0$ থেকে পাই, $ax = cy$।
• এখানে $x = c$ এবং $y = a$ বসালে বামপক্ষ হয়: $a(c) - c(a) = ac - ac = 0$, যা ১ম সমীকরণকে সিদ্ধ করে।
• এবার দ্বিতীয় সমীকরণ $ay - cx = a^2 - c^2$-এ মানগুলো বসিয়ে পরীক্ষা করি: $$a(a) - c(c) = a^2 - c^2$$

দেখা যাচ্ছে, মান দুটি উভয় সমীকরণকেই পুরোপুরি সিদ্ধ করে। তাই সঠিক সমাধান হলো $x = c, y = a$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option D: $x = 10$। খুব সহজেই যোজন-বিয়োজন (Componendo and Dividendo) প্রয়োগ করে এই সমাধানটি করে ফেলা যায়।

• প্রদত্ত সমীকরণে যোজন-বিয়োজন করে পাই: $$\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 6}} = \frac{5 + 1}{5 - 1}$$ $$\Rightarrow \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 6}} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$
• এখন উভয় পক্ষকে বর্গ করলে পাই: $$\frac{x - 1}{x - 6} = \frac{9}{4}$$
• এবার আড়াআড়ি গুণ করে মান বের করি: $$9(x - 6) = 4(x - 1)$$ $$\Rightarrow 9x - 54 = 4x - 4$$ $$\Rightarrow 5x = 50$$ $$\Rightarrow x = 10$$

এখানে সঠিক উত্তর হলো $x = a + b$ এবং $y = b - a$। অপশন টেস্ট বা মান বসিয়ে খুব সহজেই এটি যাচাই করা যায়:

• প্রথম সমীকরণে মান বসিয়ে পাই: $x - y = (a + b) - (b - a) = a + b - b + a = 2a$
• দ্বিতীয় সমীকরণে মান বসিয়ে পাই: $ax + by = a(a + b) + b(b - a) = a^2 + ab + b^2 - ab = a^2 + b^2$

যেহেতু দুটি সমীকরণই সঠিকভাবে সিদ্ধ হচ্ছে, তাই নির্ণেয় সমাধান: $x = a + b, y = b - a$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $\frac{25}{9}$। যোজন-বিয়োজন (Componendo & Dividendo) পদ্ধতি ব্যবহার করে সহজেই উত্তরটি বের করে ফেলা যায়:

• প্রথমে প্রদত্ত সমীকরণটিতে যোজন-বিয়োজন করি: $$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{5 - x} + \sqrt{5} - \sqrt{5 - x}}{\sqrt{5} + \sqrt{5 - x} - (\sqrt{5} - \sqrt{5 - x})} = \frac{5 + 1}{5 - 1}$$ $$\Rightarrow \frac{2\sqrt{5}}{2\sqrt{5 - x}} = \frac{6}{4} \Rightarrow \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5 - x}} = \frac{3}{2}$$
• এবার উভয়পক্ষকে বর্গ (square) করি: $$\frac{5}{5 - x} = \frac{9}{4}$$
• কোণাকুণি গুণ করে সমাধান করি: $$9(5 - x) = 20 \Rightarrow 45 - 9x = 20 \Rightarrow 9x = 25 \Rightarrow x = \frac{25}{9}$$

এখানে সঠিক উত্তর হলো $(6, 2)$। সমীকরণ দুটোতে $x = 6$ এবং $y = 2$ বসিয়ে বিষয়টি খুব সহজে যাচাই করা যায়:

• প্রথম সমীকরণ: $\frac{x}{3} - \frac{2}{y} = \frac{6}{3} - \frac{2}{2} = 2 - 1 = 1$
• দ্বিতীয় সমীকরণ: $\frac{x}{6} + \frac{4}{y} = \frac{6}{6} + \frac{4}{2} = 1 + 2 = 3$

যেহেতু উভয় সমীকরণেই মান দুটি সঠিকভাবে সিদ্ধ হচ্ছে, তাই নির্ণেয় সমাধান $(x, y) = (6, 2)$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো -10। সমীকরণটি খুব সহজেই কোণাকুণি গুণ (cross-multiplication) করে সমাধান করে ফেলা যায়:

• প্রদত্ত সমীকরণ: $\frac{3}{y + 1} = \frac{4}{y - 2}$
• কোণাকুণি গুণ করে পাই: $3(y - 2) = 4(y + 1)$
• বা, $3y - 6 = 4y + 4$
• বা, $3y - 4y = 4 + 6$
• বা, $-y = 10$
• অতএব, $y = -10$

এখানে সঠিক উত্তর হলো $\left(\frac{6}{5}, \frac{6}{5}\right)$। খুব সহজেই সমীকরণ দুটি সমাধান করে $x$ ও $y$ এর মান বের করা যায়:

• প্রথম সমীকরণ $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1$ থেকে পাই: $3x + 2y = 6$
• দ্বিতীয় সমীকরণ $\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 1$ থেকে পাই: $2x + 3y = 6$
• প্রথম সমীকরণ থেকে দ্বিতীয় সমীকরণ বিয়োগ করলে পাই: $$(3x + 2y) - (2x + 3y) = 6 - 6 \implies x - y = 0 \implies x = y$$
• এখন প্রথম সমীকরণে $y = x$ বসিয়ে পাই: $$3x + 2x = 6 \implies 5x = 6 \implies x = \frac{6}{5}$$

যেহেতু $x = y$, তাই $y = \frac{6}{5}$। অর্থাৎ $(x, y) = \left(\frac{6}{5}, \frac{6}{5}\right)$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option C: $x = -4$। সমীকরণটি খুব সহজেই সমাধান করা যায়:

• প্রথমে $x$ যুক্ত পদগুলোকে বামপাশে এবং সংখ্যাগুলোকে ডানপাশে নিয়ে আসি:
  $$15x - 11x = -25 + 9$$
• যোগ-বিয়োগ করে পাই:
  $$4x = -16$$
• এখন উভয়পক্ষকে $4$ দিয়ে ভাগ করলেই $x$ এর মান চলে আসবে:
  $$x = \frac{-16}{4} = -4$$

সুতরাং, $x$ এর সঠিক মান হলো $-4$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $x = -20$। সমীকরণটি খুব সহজেই সমাধান করা যায়:

• প্রথমে $x$ সংবলিত পদগুলোকে বামপাশে এবং সংখ্যাগুলোকে ডানপাশে নিয়ে পাই: $$\frac{x}{5} - \frac{3x}{10} = 6 - 4$$
• বামপাশে লসাগু ($10$) নিয়ে বিয়োগ করি: $$\frac{2x - 3x}{10} = 2$$ $$\frac{-x}{10} = 2$$
• এবার আড়গুণন (cross multiplication) করলে পাই: $$-x = 20 \implies x = -20$$

সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান $x = -20$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option D: $x = 5$। সমীকরণটি খুব সহজে সমাধান করা যায়:

• প্রথমে বামপাশের অংশ বিয়োগ করি: $\frac{x}{2} - \frac{x}{3} = \frac{3x - 2x}{6} = \frac{x}{6}$
• তাহলে মূল সমীকরণটি দাঁড়ায়: $\frac{x}{6} = \frac{x}{5} - \frac{1}{6}$
• এবার $x$ সংবলিত পদগুলো একপাশে আনি: $\frac{x}{5} - \frac{x}{6} = \frac{1}{6}$
• লসাগু করে পাই: $\frac{6x - 5x}{30} = \frac{1}{6} \Rightarrow \frac{x}{30} = \frac{1}{6}$
• অতএব, $x = \frac{30}{6} = 5$

সুতরাং, $x$-এর মান $5$-ই সঠিক।