গণিত

এখানে সঠিক উত্তর হলো (a, b)। সমীকরণে মান বসিয়ে (Substitution Method) খুব সহজেই এটি যাচাই করা যায়:

• প্রথম সমীকরণ: $x = a$ এবং $y = b$ বসালে পাই, $a(a) + b(b) = a^2 + b^2$, যা ডানপক্ষের সাথে মিলে যায়।
• দ্বিতীয় সমীকরণ: $x = a$ এবং $y = b$ বসালে পাই, $2b(a) - a(b) = 2ab - ab = ab$, এটাও ডানপক্ষের সাথে পুরোপুরি মিলে যায়।

যেহেতু $(a, b)$ মান দুটি উভয় সমীকরণকেই সিদ্ধ করে, তাই এটিই নির্ণেয় সমাধান।

এখানে সঠিক উত্তর হলো (2, 3)। এই ধরনের সমীকরণ সহগ অদলবদল থাকলে একবার যোগ ও একবার বিয়োগের সহজ টেকনিক ব্যবহার করে দ্রুত সমাধান করা যায়:

• ধাপ ১ (যোগ করে): সমীকরণ দুটি যোগ করি,
  $(25x + 27y) + (27x + 25y) = 131 + 129$
  $\implies 52x + 52y = 260$
  $\implies x + y = 5$
• ধাপ ২ (বিয়োগ করে): দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে প্রথম সমীকরণ বিয়োগ করি,
  $(27x + 25y) - (25x + 27y) = 129 - 131$
  $\implies 2x - 2y = -2$
  $\implies x - y = -1$
• ধাপ ৩ (মান নির্ণয়): এবার নতুন পাওয়া সমীকরণ দুটি যোগ করলে পাই,
  $2x = 4 \implies x = 2$
  সুতরাং, $y = 5 - 2 = 3$

তাহলে খুব সহজেই পেয়ে গেলাম $(x, y) = (2, 3)$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option D: 0। সমীকরণটি খুব সহজেই সমাধান করে $x$ এর মান বের করা যায়:

• প্রথমে বন্ধনী তুলে সংখ্যা দুটি হিসাব করি: $$(3x - 8) + 12 = 4$$ $$3x + 4 = 4$$
• এবার $4$-কে ডানপাশে নিলে বিয়োগ হয়ে যায়: $$3x = 4 - 4$$ $$3x = 0$$
• সুতরাং, $x = \frac{0}{3} = 0$

অর্থাৎ, $x$ এর মান $0$ হলে সমীকরণটির দুই পক্ষ সমান হয়।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 8। সমীকরণটি খুব সহজে নিচে ধাপে ধাপে সমাধান করা হলো:

• সব $x$ সংবলিত পদগুলোকে একপাশে এবং সংখ্যাগুলোকে অন্যপাশে নিয়ে পাই: $23x - 11x = 96$
• বা, $12x = 96$
• সুতরাং, $x = \frac{96}{12} = 8$

এখানে সঠিক উত্তর হলো 12। খুব সহজেই সমীকরণটি সমাধান করে $x$-এর মান বের করা যায়:

• প্রথমে $x$ সংবলিত পদগুলো বামপাশে এবং সংখ্যাগুলো ডানপাশে নিই: $$\frac{x}{2} - \frac{x}{3} = 7 - 5$$
• এবার বামপাশে লসাগু ($6$) করে বিয়োগ করি: $$\frac{3x - 2x}{6} = 2$$
• বা, $\frac{x}{6} = 2$
• সুতরাং, $x = 6 \times 2 = \mathbf{12}$

এখানে সঠিক উত্তর হলো $-\frac{2c}{b}$। বিষয়টি খুব সহজেই সমাধান করা যায়:

• ভগ্নাংশ দুটির হর $b$ একই হওয়ায় লসাগু হবে $b$।
• লব দুটি বিয়োগ করলে পাই: $\frac{(b - c) - (b + c)}{b}$
• ব্র্যাকেট উঠিয়ে নিলে দাঁড়ায়: $\frac{b - c - b - c}{b}$
• এখন লবে $+b$ এবং $-b$ কাটা গিয়ে থাকে $-2c$।
• সুতরাং, চূড়ান্ত মান হয়: $\frac{-2c}{b}$ বা $-\frac{2c}{b}$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $\frac{3a + 2b}{a - b}$। অংকটি সমাধান করার নিয়মটি খুবই সহজ:

• দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর $(b - a)$ থেকে মাইনাস ($-$) কমন নিলে তা $-(a - b)$ হয়।
• এর ফলে ভগ্নাংশ দুটির মাঝের মাইনাস ($-$) চিহ্নটি বদলে প্লাস ($+$) হয়ে যাবে: $$\frac{a + b}{a - b} + \frac{b + 2a}{a - b}$$
• এখন দুটি ভগ্নাংশের হরই সমান $(a - b)$, তাই লব দুটো সরাসরি যোগ করে দিলেই কাঙ্ক্ষিত উত্তর পাওয়া যায়: $$\frac{(a + b) + (b + 2a)}{a - b} = \frac{3a + 2b}{a - b}$$

এখানে সঠিক উত্তর হলো $\frac{b - c}{a}$। সমাধানটি খুবই সহজ:

• যেহেতু দুটি ভগ্নাংশের হরই একই (অর্থাৎ $a$), তাই লব দুটিকে সরাসরি বিয়োগ আকারে লেখা যায়:

• এখন লবের অংশটুকু হিসাব করলে $+c - 2c = -c$ হয়, ফলে আমরা পাই:

এখানে সঠিক উত্তর হলো $\frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}$। অংকটি খুব সহজেই সাধারণ ভগ্নাংশের যোগের মাধ্যমে সমাধান করা যায়:

• প্রথমে হর দুটির লসাগু করি: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
• এবার লসাগু নিয়ে ভগ্নাংশ দুটি যোগ করলে দাঁড়ায়: $\frac{a(a - b) + b(a + b)}{(a + b)(a - b)}$
• লবের অংশ গুণ করে পাই: $\frac{a^2 - ab + ab + b^2}{a^2 - b^2}$
• এখানে $-ab$ এবং $+ab$ কাটাকাটি হয়ে লবে থাকে: $\frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}$

এখানে সঠিক উত্তর হলো $\frac{a + b}{c}$। দুটি ভগ্নাংশের হর একই থাকলে সরল করা খুবই সহজ:

• এখানে উভয় ভগ্নাংশের হর হলো $c$।
• যেহেতু হর সমান, তাই এদের লসাগু হবে $c$।
• লসাগু নিয়ে লব দুটি ($a$ এবং $b$) সরাসরি যোগ করে দিলেই আমরা উত্তর পেয়ে যাই।

গাণিতিক হিসাবটি হলো: