গণিত

এখানে সঠিক উত্তর হলো $\frac{c + a}{b}$। বিষয়টা খুব সহজ—দুটি ভগ্নাংশের হর (denominator) একই থাকলে লবগুলোকে সরাসরি যোগ করে দিলেই উত্তর পাওয়া যায়।

• এখানে প্রদত্ত রাশিটি হলো: $\frac{c}{b} + \frac{a}{b}$
• যেহেতু উভয় ভগ্নাংশের হরই $b$, তাই এদের লসাগু হবে $b$।
• সুতরাং, সাধারণ নিয়মে লব দুটি যোগ করলে পাওয়া যায়: $$\frac{c}{b} + \frac{a}{b} = \frac{c + a}{b}$$

এখানে সঠিক উত্তর হলো 0। কারণ ব্র্যাকেট তুলে হিসাব করলেই রাশিটি পুরোপুরি কাটাকাটি হয়ে যায়।

• প্রদত্ত রাশি: $a - b + (b - a)$
• ব্র্যাকেট উঠিয়ে পাই: $a - b + b - a$
• সদৃশ পদগুলো একসাথে সাজালে পাই: $(a - a) + (b - b) = 0 + 0 = 0$

সুতরাং, হিসাবটি শেষ করলে সঠিক মান পাওয়া যায় 0।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $\frac{2bx}{a^2 - b^2}$। বীজগণিতীয় ভগ্নাংশের বিয়োগের সাধারণ নিয়ম মেনে এটি খুব সহজেই সমাধান করা যায়:

• হর দুটি $(a - b)$ এবং $(a + b)$ এর লসাগু হলো $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$।
• লঘুকরণ করে পাই: $$\frac{x}{a - b} - \frac{x}{a + b} = \frac{x(a + b) - x(a - b)}{a^2 - b^2}$$
• লবের গুণ সম্পন্ন করে সরল করলে পাই: $$\frac{ax + bx - ax + bx}{a^2 - b^2} = \frac{2bx}{a^2 - b^2}$$

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option B: $\frac{xy + 1}{y}$। ভগ্নাংশের সাধারণ যোগ নিয়ম ব্যবহার করে খুব সহজেই এটি সমাধান করা যায়।

সহজ হিসাবটি দেখে নিন:

• প্রথম পদ $x$-কে আমরা $\frac{x}{1}$ হিসেবে চিন্তা করতে পারি।
• এখন $\frac{x}{1}$ ও $\frac{1}{y}$ যোগ করতে হর দুটির লসাগু হবে $y$।
• লসাগু করে যোগফল সাজালে পাই: $$x + \frac{1}{y} = \frac{xy + 1}{y}$$

এখানে সঠিক উত্তর হলো $1 + b$। হিসাবটি সহজে সমাধান করার নিয়মটি দেখে নিন:

• লব (উপরের অংশ) থেকে $(a - b)$ কমন নেওয়া যাক: $$a - b + b(a - b) = (a - b)(1 + b)$$
• এখন মূল ভগ্নাংশটি হবে: $$\frac{(a - b)(1 + b)}{a - b}$$
• উপরে ও নিচে $(a - b)$ কাটাকাটি করলে অবশিষ্ট থাকে $1 + b$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $\frac{1}{2} + \frac{1}{b} + \frac{3}{2a}$। অংকটি সমাধান করা খুবই সহজ, শুধু ওপরের লবের প্রতিটি পদকে নিচের হর দিয়ে আলাদা করে ভাগ করে দিতে হবে।

সহজ সমাধান নিয়ম:

• লবের প্রতিটি পদকে হর $2ab$ দিয়ে আলাদা করে লিখি: $$\frac{ab}{2ab} + \frac{2a}{2ab} + \frac{3b}{2ab}$$
• প্রথম অংশ কাটাকাটি করলে পাই: $\frac{ab}{2ab} = \frac{1}{2}$
• দ্বিতীয় অংশ কাটাকাটি করলে পাই: $\frac{2a}{2ab} = \frac{1}{b}$
• তৃতীয় অংশ কাটাকাটি করলে পাই: $\frac{3b}{2ab} = \frac{3}{2a}$

সবগুলো মান একসাথে যোগ আকারে সাজালে পাই: $\frac{1}{2} + \frac{1}{b} + \frac{3}{2a}$

এখানে সঠিক উত্তর হলো $4b^2$। রাশিটি সরাসরি বর্গের সূত্রের সাথে মিলে যায়, যা খুব সহজেই সমাধান করা সম্ভব।

আমরা জানি, $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$। এখানে $x = (a + b)$ এবং $y = (a - b)$ ধরে নিলে হিসেবটি দাঁড়ায়:

• প্রদত্ত রাশি: $(a + b)^2 - 2(a + b)(a - b) + (a - b)^2$
• সূত্রে রূপান্তর করে: $\{(a + b) - (a - b)\}^2$
• ভেতরের বন্ধনী তুলে দিলে: $(a + b - a + b)^2$
• সহজ যোগ-বিয়োগ শেষে: $(2b)^2 = 4b^2$

এখানে সঠিক উত্তর হলো $16x^2$। কারণ প্রদত্ত রাশিটি বীজগণিতের বর্গের সূত্র $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ এর কাঠামোর সাথে হুবহু মিলে যায়।

সহজ হিসাবটি দেখে নেওয়া যাক:

• ধরি, $a = 2x + 3y$ এবং $b = 2x - 3y$
• তাহলে রাশিটিকে লেখা যায়: $$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$$
• এখন $a$ ও $b$-এর মান বসিয়ে পাই: $$((2x + 3y) + (2x - 3y))^2$$
• ব্র্যাকেটের ভেতর $+3y$ এবং $-3y$ কাটাকাটি হয়ে থাকে $(4x)^2$
• সুতরাং, $(4x)^2 = 16x^2$

এখানে সঠিক উত্তর হলো $9a^2$। কারণ এটি সরাসরি বীজগণিতের $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ সূত্রের একটি রূপ।

সহজ ধাপে সমাধানটি দেখে নাও:

• ধরি, $x = 2a + 5b + 3c$ এবং $y = 5b + 3c - a$
• তাহলে প্রদত্ত রাশিটি দাঁড়ায়: $x^2 + y^2 - 2xy = (x - y)^2$
• এখন $x - y$ এর মান হিসাব করি: $(2a + 5b + 3c) - (5b + 3c - a) = 3a$
• সুতরাং, মান বসিয়ে পাই: $(3a)^2 = 9a^2$

এখানে সঠিক উত্তর হলো -7। নিচের সহজ ধাপগুলোতে সমীকরণটি সমাধান করা হলো:

• প্রথমেই ২, ৩ এবং ৫ এর লসাগু হলো ৩০। সমীকরণের উভয় পক্ষকে ৩০ দিয়ে গুণ করে পাই: $$15(x + 1) - 10(x - 2) - 6(x - 3) = 2 \times 30$$
• ব্র্যাকেট সরিয়ে গুণ করে পাই: $$15x + 15 - 10x + 20 - 6x + 18 = 60$$
• একজাতীয় পদগুলো যোগ-বিয়োগ করি: $$-x + 53 = 60$$
• এবার সংখ্যাটিকে ডানপাশে পক্ষান্তর করি: $$-x = 60 - 53$$ $$-x = 7 \implies x = -7$$

সুতরাং, $x$ এর নির্ণেয় মান হলো -7।