গণিত

এখানে সঠিক উত্তর হলো 45, 35। খুব সহজ একটি শর্টকাট টেকনিক দিয়ে এই ধরণের অংক সমাধান করা যায়:

• বড় সংখ্যাটি পেতে যোগফল ও বিয়োগফল যোগ করে $2$ দিয়ে ভাগ করতে হয়: $\frac{80 + 10}{2} = \frac{90}{2} = 45$
• ছোট সংখ্যাটি পেতে যোগফল থেকে বিয়োগফল বিয়োগ করে $2$ দিয়ে ভাগ করতে হয়: $\frac{80 - 10}{2} = \frac{70}{2} = 35$

সুতরাং, কাঙ্ক্ষিত সংখ্যা দুটি হলো 45 এবং 35।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৬০, ১৫। খুব সহজ নিয়মে সমাধানটি দেখে নেওয়া যাক:

• ধরি, ছোট সংখ্যাটি $x$। প্রশ্ন অনুযায়ী একটি সংখ্যা অপরটির $৪$ গুণ, তাই বড় সংখ্যাটি হবে $4x$।
• প্রশ্নমতে, তাদের বিয়োগফল $৪৫$, অর্থাৎ: $4x - x = 45$ বা $3x = 45$।
• সুতরাং, ছোট সংখ্যাটি $x = \frac{45}{3} = 15$।
• তাহলে বড় সংখ্যাটি হবে $15 \times 4 = 60$।

সহজেই দেখা যাচ্ছে, $60 - 15 = 45$ মিলছে। তাই সংখ্যা দুটি হলো ৬০ ও ১৫।

এখানে সঠিক উত্তর হলো পিতার বয়স ৫০ এবং পুত্রের বয়স ২০ বছর। বিষয়টি সহজে হিসাব করা যায়:

• ধরি, পুত্রের বর্তমান বয়স $x$ বছর। তাহলে পিতার বর্তমান বয়স $(x + 30)$ বছর।
• ১০ বছর পর, পুত্রের বয়স হবে $(x + 10)$ বছর এবং পিতার বয়স হবে $(x + 40)$ বছর।
• প্রশ্নমতে, ১০ বছর পর পিতার বয়স পুত্রের বয়সের দ্বিগুণ হবে: $$x + 40 = 2(x + 10)$$
• বা, $x + 40 = 2x + 20 \implies x = 20$

অতএব, পুত্রের বর্তমান বয়স ২০ বছর এবং পিতার বর্তমান বয়স $20 + 30 =$ ৫০ বছর।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৫২ ও ২৮। দুইটি সংখ্যার যোগফল ও বিয়োগফল দেওয়া থাকলে শর্টকাট নিয়মে সংখ্যা দুটি বের করা খুব সহজ:

• বড় সংখ্যা = $\frac{80 + 24}{2} = \frac{104}{2} = 52$
• ছোট সংখ্যা = $\frac{80 - 24}{2} = \frac{56}{2} = 28$

সুতরাং, নির্ণেয় সংখ্যা দুইটি হলো ৫২ ও ২৮।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 23। হিসাবটি খুব সহজে করে ফেলা যায়:

• ধরি, অজানা সংখ্যাটি $x$।
• প্রশ্নমতে, $11x - 63 = 190$
• বা, $11x = 190 + 63 = 253$
• সুতরাং, $x = \frac{253}{11} = 23$

সহজ কথায়, বিয়োগফল ১৯০-এর সাথে ৬৩ যোগ করে ২৫৩ পাওয়া যায়, আর তাকে ১১ দিয়ে ভাগ করলেই কাঙ্ক্ষিত সংখ্যা ২৩ চলে আসে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ২ কি.মি./ঘন্টা। খুব সহজ একটি ট্রিক্সে হিসাবটা করে ফেলা যায়:

• স্রোতের অনুকূলে নৌকার কার্যকর বেগ = $\frac{45}{5} = 9$ কি.মি./ঘন্টা।
• আমরা জানি, স্রোতের অনুকূলে মোট বেগ = (নৌকার নিজস্ব বেগ + স্রোতের বেগ)।
• সুতরাং, স্রোতের গতিবেগ = $9 - 7 = 2$ কি.মি./ঘন্টা।

এখানে সঠিক উত্তর হলো শফিকের ১৫ বছর এবং আজমলের ২০ বছর। অংকটি একটি খুব সহজ শর্টকাট ট্রিক দিয়ে মুহূর্তেই সমাধান করা যায়:

• দুজনার মোট বয়স $35$ বছর এবং বয়সের পার্থক্য $5$ বছর।
• যার বয়স কম (শফিক), তার বয়স = $\frac{35 - 5}{2} = \frac{30}{2} = 15$ বছর।
• যার বয়স বেশি (আজমল), তার বয়স = $15 + 5 = 20$ বছর।

সুতরাং, শফিকের বয়স ১৫ বছর এবং আজমলের বয়স ২০ বছর।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১২০ কি.মি.। খুব সহজে একটি শর্টকাট সূত্র দিয়ে অংকটি সমাধান করা যায়:

দূরত্ব = মোট সময় $\times \frac{v_1 \times v_2}{v_1 + v_2}$

• যাওয়ার গতিবেগ ($v_1$) = $20$ কি.মি./ঘণ্টা
• আসার গতিবেগ ($v_2$) = $30$ কি.মি./ঘণ্টা
• মোট সময় = $10$ ঘণ্টা

এখন সূত্রে মান বসিয়ে পাই,

দূরত্ব = $10 \times \frac{20 \times 30}{20 + 30} = 10 \times \frac{600}{50} = 120$ কি.মি.

এখানে সঠিক উত্তর হলো $\frac{15}{26}$। প্রশ্নের শর্তগুলো সরাসরি প্রয়োগ করলেই বিষয়টি সহজে পরিষ্কার হয়ে যায়:

• প্রথম শর্তানুসারে: লব থেকে $1$ বিয়োগ এবং হরে $2$ যোগ করলে দাঁড়ায় —
  $\frac{15 - 1}{26 + 2} = \frac{14}{28} = \frac{1}{2}$
• দ্বিতীয় শর্তানুসারে: লব থেকে $7$ এবং হর থেকে $2$ বিয়োগ করলে দাঁড়ায় —
  $\frac{15 - 7}{26 - 2} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$

যেহেতু দুটি শর্তই $\frac{15}{26}$ দিয়ে নিখুঁতভাবে মিলে যাচ্ছে, তাই নির্ণেয় ভগ্নাংশটি $\frac{15}{26}$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 51। চলুন শর্তগুলো খুব সহজে মিলিয়ে নিই:

• প্রথম শর্ত: অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি হতে হবে $6$। এখানে, $5 + 1 = 6$ (শর্ত মিলে গেছে)।
• দ্বিতীয় শর্ত: মূল সংখ্যাটির (51) দশক স্থানীয় অঙ্ক হলো $5$ এবং অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে প্রাপ্ত সংখ্যাটি হয় $15$।
• যাচাই: দশক স্থানীয় অঙ্কের $3$ গুণ হলো $5 \times 3 = 15$, যা স্থান বিনিময় করে পাওয়া নতুন সংখ্যার সমান।

সবগুলো শর্ত হুবহু মিলে যাওয়ায় সঠিক উত্তরটি হলো 51।