গণিত

এখানে সঠিক উত্তর হলো 54। প্রশ্নটির শর্তগুলোর সাথে অপশনটি মিলিয়ে খুব সহজেই এটি যাচাই করা যায়:

• অঙ্কদ্বয়ের পার্থক্য: সংখ্যাটির অঙ্ক দুটি হলো $5$ এবং $4$, যেখানে $5 - 4 = 1$ (একটি অঙ্ক অপরটি অপেক্ষা $1$ বেশি)।
• স্থান বিনিময়: অঙ্ক দুটি স্থান বিনিময় করলে নতুন সংখ্যাটি হয় $45$।
• শর্ত যাচাই: মূল সংখ্যা $54$-এর $\frac{5}{6}$ গুণ হিসাব করলে পাই: $$54 \times \frac{5}{6} = 45$$

দেখা যাচ্ছে, স্থান বিনিময় করা সংখ্যাটি মূল সংখ্যার $\frac{5}{6}$ গুণের সমান। তাই সঠিক সংখ্যাটি হলো 54।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১০ বছর। বিষয়টির পেছনে একটি মজার শর্টকাট ট্রিক রয়েছে!

পিতা ও পুত্রের বয়সের পার্থক্য বা অন্তর সবসময় একই থাকে। তাই ১২ বছর পরেও তাদের বয়সের পার্থক্য $22$ বছরই থাকবে।

• ১২ বছর পর পিতার বয়স পুত্রের বয়সের দ্বিগুণ হলে, তাদের বয়সের পার্থক্য হবে ঠিক পুত্রের তৎকালীন বয়সের সমান।
• অর্থাৎ, ১২ বছর পর পুত্রের বয়স হবে $22$ বছর।
• সুতরাং, পুত্রের বর্তমান বয়স = $22 - 12 = 10$ বছর।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৫০ বছর। অংকটি খুব সহজে সাধারণ সমীকরণ দিয়ে সমাধান করা যায়:

• ধরি, দুই পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি $x$ বছর। তাহলে পিতার বর্তমান বয়স $5x$ বছর।
• ১০ বছর পর, ২ জন পুত্রের বয়স মোট $10 + 10 = 20$ বছর বাড়বে। তখন তাদের বয়সের সমষ্টি হবে $(x + 20)$ বছর এবং পিতার বয়স হবে $(5x + 10)$ বছর।
• প্রশ্নমতে, ১০ বছর পর পিতার বয়স হবে ছেলেদের বয়সের সমষ্টির দ্বিগুণ: $$5x + 10 = 2(x + 20)$$ $$5x + 10 = 2x + 40$$ $$3x = 30 \implies x = 10$$
• সুতরাং, পিতার বর্তমান বয়স $5 \times 10 =$ ৫০ বছর।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 60। খুব সহজেই হিসাবটি করে ফেলা যায়:

• ধরি, সম্পূর্ণ সংখ্যাটি $1$ অংশ।
• সংখ্যাটির এক-তৃতীয়াংশ ও এক-চতুর্থাংশের যোগফল হলো: $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12}$ অংশ।
• প্রশ্নানুসারে, $\frac{7}{12}$ অংশ = $35$
• সুতরাং, সম্পূর্ণ সংখ্যাটি ($1$ অংশ) = $\frac{35 \times 12}{7} = 60$

তাই নির্ণেয় সংখ্যাটি হলো 60।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option C: x = 10, y = 70। সমাধানটি খুবই সহজ, নিচে ধাপে ধাপে দেখে নাও:

• প্রশ্নমতে, $6\angle A = 7\angle B$। মান বসিয়ে পাই: $6y = 7 \times 6x \implies y = 7x$
• আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$। সুতরাং: $$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$ $$y + 6x + 5x = 180^\circ$$
• এখন $y = 7x$ বসিয়ে পাই: $$7x + 6x + 5x = 180^\circ \implies 18x = 180^\circ \implies x = 10$$
• $x$-এর মান বসিয়ে $y$-এর মান পাই: $y = 7 \times 10 = 70$

অতএব, নির্ণেয় মান $x = 10$ এবং $y = 70$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৩০০০ টাকা। শর্টকাট নিয়মে হিসাবটি সহজেই বুঝে নেওয়া যাক:

• ১০ বছর ও ৪ বছরের মধ্যে সময়ের ব্যবধান $= (10 - 4) = 6$ বছর।
• এই $6$ বছরে মোট বেতন বাড়ে $= (4250 - 3500) = 750$ টাকা।
• তাহলে প্রতি বছর ইনক্রিমেন্ট হয় $= \frac{750}{6} = 125$ টাকা।
• সুতরাং, প্রথম $4$ বছরে মোট ইনক্রিমেন্ট হয়েছিল $= 4 \times 125 = 500$ টাকা।
• অতএব, চাকরি শুরুর সময়ে তাঁর প্রাথমিক বেতন ছিল $= (3500 - 500) = \mathbf{3000}$ টাকা।

সমীকরণটি খুব সহজেই সমাধান করা যায়। নিচে ধাপে ধাপে সহজ নিয়মটি দেওয়া হলো:

• প্রথমে $x$ সংবলিত পদগুলোকে একপাশে এবং সংখ্যাগুলোকে অন্যপাশে নিয়ে আসি: $$\frac{4}{5} - \frac{2}{7} = \frac{5x}{7} - \frac{x}{5}$$
• উভয় পাশে লসাগু $35$ নিয়ে বিয়োগ করলে পাই: $$\frac{28 - 10}{35} = \frac{25x - 7x}{35}$$
• বা, $\frac{18}{35} = \frac{18x}{35}$
• এখন উভয় পাশ থেকে $35$ এবং $18$ কাটাকাটি করলে থাকে: $x = 1$

সুতরাং, সঠিক সমাধান হলো $x = 1$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ব্রহ্মপুত্র।

ভারত থেকে প্রবাহিত হয়ে তিস্তা নদী বাংলাদেশের নীলফামারী সীমান্ত দিয়ে প্রবেশ করেছে। পরবর্তীতে নদীটি কুড়িগ্রামের চিলমারীর কাছে এসে ব্রহ্মপুত্র নদীর সাথে মিলিত হয়েছে। মূলত ১৭৮৭ সালের এক ভয়াবহ বন্যার পর তিস্তা তার পুরোনো গতিপথ বদলে ব্রহ্মপুত্রের সাথে মিশে যায়।

এখানে সঠিক উত্তর হলো (5, 5)। ক্রমজোড়ের (ordered pairs) নিয়ম অনুযায়ী দুটি ক্রমজোড় সমান হলে, তাদের প্রথম উপাদান দুটি এবং দ্বিতীয় উপাদান দুটি আলাদাভাবে সমান হয়।

• x-এর মান: $2x - 6 = 4 \implies 2x = 10 \implies x = 5$
• y-এর মান: $2y - 5 = 5 \implies 2y = 10 \implies y = 5$

তাই হিসাব করে দেখা যাচ্ছে, $(x, y) = (5, 5)$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো -5।

আমরা জানি, দুটি সরলরেখার সমীকরণের কোনো সমাধান না থাকার শর্ত হলো—তাদের $x$ ও $y$-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত সমান হবে, কিন্তু ধ্রুবক পদের অনুপাত ভিন্ন হবে।

অর্থাৎ, $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$

এখন, দেওয়া আছে:

• প্রথম সমীকরণ: $2x + 5y + 8 = 0$ (যেখানে $a_1 = 2, b_1 = 5$)
• দ্বিতীয় সমীকরণ: $2x - ky - 3 = 0$ (যেখানে $a_2 = 2, b_2 = -k$)

শর্ত অনুযায়ী সহগগুলোর অনুপাত সমান বসিয়ে পাই:

তাই $k = -5$ হলেই সমীকরণ দুটির কোনো সমাধান থাকবে না।