গণিত

এখানে সঠিক উত্তর হলো 9। অঙ্কটি খুব সহজেই সমীকরণ বানিয়ে কিংবা সরাসরি যাচাই করে সমাধান করা যায়:

• ধরি, সংখ্যাটি $x$। তাহলে এর পরবর্তী স্বাভাবিক সংখ্যাটি হবে $(x + 1)$।
• প্রশ্নানুসারে, $x^2 + x = 9(x + 1)$
• বা, $x(x + 1) = 9(x + 1)$
• উভয় পক্ষকে $(x + 1)$ দিয়ে ভাগ করলে পাই, $x = 9$

সহজ কথায় মেলালে— $9$-এর বর্গ ও $9$-এর যোগফল হলো $9^2 + 9 = 90$, যা পরবর্তী সংখ্যা $10$-এর $9$ গুণের সমান ($9 \times 10 = 90$)।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১০।

প্রশ্নানুসারে বালকের সংখ্যা এবং প্রত্যেকের দেওয়া চাঁদার পরিমাণ সমান। তাই মোট চাঁদার পরিমাণ হবে বালকের সংখ্যার বর্গ।

• ধরি, বালকের সংখ্যা $x$ জন।
• তাহলে, প্রত্যেকে চাঁদা দেয় $x$ টাকা।
• প্রশ্নমতে, $x \times x = 100$ বা $x^2 = 100$
• অতএব, $x = \sqrt{100} = 10$

অর্থাৎ, শ্রেণীতে মোট বালকের সংখ্যা ছিল ১০ জন।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১৬৮০ টাকা। অনুপাত ধরে সহজেই অংকটি সমাধান করা যায়:

• ধরি, কালামের বেতন = $x$ টাকা
• ফারুকের বেতন = $1.2x$ টাকা
• মালেকের বেতন = $0.8x$ টাকা

তিনজনের মোট বেতন: $1.2x + x + 0.8x = 3x$ টাকা।

শর্তমতে, $$3x = 6300$$

বা, $$x = \frac{6300}{3} = 2100$$ টাকা (কালামের বেতন)

সুতরাং, মালেকের বেতন = $0.8 \times 2100 = \mathbf{1680}$ টাকা।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৩০। গাণিতিক হিসেবটি খুবই সহজ:

ধরি, লোকসংখ্যা $x$ জন। প্রশ্নানুসারে, প্রত্যেকে ততটি ৫ টাকা অর্থাৎ $5x$ টাকা করে চাঁদা দেয়।

তাহলে মোট চাঁদার পরিমাণ হবে:

• $5x^2 = 4500$
• $x^2 = \frac{4500}{5} = 900$
• $x = \sqrt{900} = 30$

সুতরাং, ওই স্থানে লোকসংখ্যা ছিল ৩০ জন।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option B: 672। হিসাবটি খুব সহজ, চলুন দেখে নিই:

• ধরি, শুরুতে প্রতিটি কার্টুনে দিয়াশলাই ছিল $x$ টি।
• সুতরাং ২৪টি কার্টুনে মোট দিয়াশলাই থাকে $24x$ টি।
• প্রতিটি কার্টুনে ৪টি করে কম দিলে ২৮টি কার্টুনে মোট দিয়াশলাই হয় $28(x - 4)$ টি।

প্রশ্নমতে,

তাহলে দিয়াশলায়ের মোট সংখ্যা $= 24 \times 28 = \mathbf{672}$ টি।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১০। অপশন ধরে খুব সহজেই এটি মিলিয়ে নেওয়া যায়:

• ধরি, সুমন ১০ টি কলম কিনেছিল। তাহলে প্রতিটি কলমের দাম ছিল: $\frac{120}{10} = 12$ টাকা।
• দাম $2$ টাকা কম হলে প্রতিটি কলমের নতুন দাম হতো: $12 - 2 = 10$ টাকা।
• নতুন দামে $120$ টাকায় সে কলম পেত: $\frac{120}{10} = 12$ টি।
• অর্থাৎ, সে আগের চেয়ে ঠিক ($12 - 10 = 2$) টি কলম বেশি পাচ্ছে, যা প্রশ্নের শর্তের সাথে একদম মিলে যায়।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৪০টি। সহজ শর্টকাট নিয়মে হিসাবটি করে ফেলা যাক:

• ১টি ২০ টাকা ও ১টি ৩০ টাকার কলমের ১টি জোড়ার দাম: $20 + 30 = 50$ টাকা।
• তাহলে ১০০০ টাকায় এমন জোড়া কেনা যাবে: $\frac{1000}{50} = 20$ টি।
• যেহেতু প্রতি জোড়ায় সমসংখ্যক বা ২টি করে কলম আছে, তাই মোট কলম কেনা হয়েছে: $20 \times 2 = 40$ টি।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৩০। সহজ কিছু ধাপে অংকটি বুঝে নিই:

• প্রথমে টাকাকে পয়সায় রূপান্তর করি: ৯০ টাকা = $90 \times 100 = 9000$ পয়সা।
• যদি শিক্ষার্থী সংখ্যা $x$ হয়, তবে প্রত্যেকে চাঁদা দেয় $10x$ পয়সা।
• প্রশ্নমতে, $x \times 10x = 9000$ বা, $10x^2 = 9000$
• সুতরাং, $x^2 = 900 \implies x = \sqrt{900} = 30$

সহজ শর্টকাট: মোট পয়সাকে ১০ দিয়ে ভাগ করে বর্গমূল করলেই শিক্ষার্থীর সংখ্যা বের হয়ে যাবে: $\sqrt{\frac{9000}{10}} = \sqrt{900} = 30$ জন।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 18। অংকটি বীজগণিতের সহজ সূত্র ব্যবহার করে খুব সহজেই সমাধান করা যায়।

ধরি, সংখ্যা দুটি হলো $x$ এবং $y$ (যেখানে $x > y$)।

• সংখ্যা দুটির পার্থক্য: $x - y = 6$
• এদের বর্গের পার্থক্য: $x^2 - y^2 = 108$

আমরা সূত্র থেকে জানি, $x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$

এখন মান বসিয়ে পাই:

$$108 = (x + y) \times 6$$

$$\implies x + y = \frac{108}{6} = 18$$

অতএব, সংখ্যা দুটির যোগফল হলো 18।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 14। অংকটির শর্ত থেকে খুব সহজেই এটি মিলিয়ে দেখা যায়:

• মূল সংখ্যা 14-এর দশকের অঙ্ক $1$ এবং এককের অঙ্ক $4$।
• দশকের অঙ্কের সাথে $3$ যোগ করলে নতুন দশকের অঙ্ক হয়: $1 + 3 = 4$
• এককের অঙ্ক থেকে $2$ বিয়োগ করলে নতুন এককের অঙ্ক হয়: $4 - 2 = 2$
• তাহলে প্রাপ্ত নতুন সংখ্যাটি দাঁড়ায় 42।

খেয়াল করে দেখুন, নতুন পাওয়া সংখ্যা $42$ হলো মূল সংখ্যা $14$-এর ঠিক তিনগুণ ($14 \times 3 = 42$)। সুতরাং শর্তানুযায়ী সঠিক সংখ্যাটি হলো 14।