গণিত

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১৮ টাকা। খুব সহজ একটা শর্টকাট টেকনিক দিয়ে অংকটি সমাধান করে ফেলা যায়:

• প্রথমে মোট ক্রয়মূল্য থেকে পার্থক্যের টাকা বিয়োগ করি: $43 - 7 = 36$ টাকা।
• যেহেতু বইয়ের দাম কম, তাই অবশিষ্ট ৩৬ টাকাকে সমান ২ ভাগে ভাগ করলেই বইয়ের মূল্য পাওয়া যাবে: $\frac{36}{2} = 18$ টাকা।

সহজ সমীকরণে দেখলে: বইয়ের দাম $x$ টাকা হলে, $x + (x + 7) = 43 \implies 2x = 36 \implies x = 18$ টাকা।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৩৯। বিষয়টির সত্যতা খুব সহজেই দুটি শর্তের মাধ্যমে মিলিয়ে নেওয়া যায়:

• অঙ্কদ্বয়ের যোগফল: ৩৯ সংখ্যাটির অঙ্ক দুটির যোগফল $3 + 9 = 12$ (প্রথম শর্ত পূরণ হয়েছে)।
• অঙ্ক উল্টে দেওয়া: ৩৯-এর অঙ্ক দুটি বিপরীতভাবে লিখলে নতুন সংখ্যাটি হয় ৯৩।
• পার্থক্য বা বৃদ্ধি: নতুন সংখ্যা থেকে মূল সংখ্যা বিয়োগ করলে পাওয়া যায় $93 - 39 = 54$, অর্থাৎ মান ঠিক ৫৪ বেড়ে যায় (দ্বিতীয় শর্তও পূরণ হয়েছে)।

সুতরাং, দুটি শর্তই সফলভাবে পূরণ করায় নির্ণেয় সংখ্যাটি হলো ৩৯।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৩০, ২০। প্রশ্নটির শর্তগুলো ধাপে ধাপে মিলিয়ে নিলেই বিষয়টি একদম স্পষ্ট হয়ে যাবে:

• প্রথমত, অংশ দুটির যোগফল $30 + 20 = 50$।
• প্রথম অংশ ৩০-এর দ্বিগুণ হলো $30 \times 2 = 60$, যা ৭৫ অপেক্ষা $75 - 60 = 15$ কম।
• অপর অংশ ২০-এর তিনগুণ হলো $20 \times 3 = 60$, যা ৪৫ অপেক্ষা $60 - 45 = 15$ বেশি।

যেহেতু উভয় ক্ষেত্রেই পার্থক্যের পরিমাণ সমান (১৫), তাই শর্তানুসারে সঠিক সংখ্যা দুটি হলো ৩০ ও ২০।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $p - 1$। সরলীকরণটি নিচে খুব সহজে ধাপে ধাপে দেখানো হলো:

• প্রথমে একদম ভিতরের ব্র্যাকেটের অংশ: $1 - \frac{1}{p} = \frac{p-1}{p}$
• এর ওপর পাওয়ার $-1$ থাকায় ভগ্নাংশটি উল্টে যাবে: $\left(1 - \frac{1}{p}\right)^{-1} = \frac{p}{p-1}$
• এখন বিয়োগ করলে পাই: $1 - \frac{p}{p-1} = \frac{p - 1 - p}{p-1} = -\frac{1}{p-1}$
• পুনরায় পাওয়ার $-1$ করায় এটি হবে: $\left(-\frac{1}{p-1}\right)^{-1} = -(p-1) = 1 - p$
• সর্বশেষ ভাগের কাজ শেষ করলে চূড়ান্ত উত্তর আসে $p - 1$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 7। খুব সহজেই ধাপে ধাপে মান বসিয়ে উত্তরটি বের করা যায়:

• প্রথমে $2xy + y = 14$ সমীকরণে $x = 3$ বসাই: $$2(3)y + y = 14$$ $$6y + y = 14$$ $$7y = 14 \implies y = 2$$
• এবার $2y + x$ রাশিতে $x = 3$ এবং $y = 2$ বসাই: $$2(2) + 3 = 4 + 3 = 7$$

সুতরাং, নির্ণেয় মান হলো 7।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $f(1) = 3$। মান বসিয়ে হিসাব করাটা খুবই সহজ, নিচে ধাপগুলো দেখে নাও:

• ফাংশনটি হলো: $f(x) = x^2 + 1x + 1$
• এখন $x$ এর জায়গায় $1$ বসিয়ে পাই: $f(1) = 1^2 + 1(1) + 1$
• সরল করলে দাঁড়ায়: $f(1) = 1 + 1 + 1 = 3$

সুতরাং, $x = 1$ বসালে সঠিক মান পাওয়া যায় $3$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option C: 3।

ফাংশনটিতে $f(0)$ এর মান বের করার নিয়মটি খুবই সহজ। আমাদের শুধু প্রদত্ত সমীকরণে $x$ এর জায়গায় $0$ বসিয়ে হিসাব করতে হবে:

• প্রদত্ত ফাংশন: $f(x) = x^2 + 2x + 3$
• এখন $x = 0$ বসিয়ে পাই: $$f(0) = (0)^2 + 2(0) + 3$$
• সহজ হিসাব: $$f(0) = 0 + 0 + 3 = 3$$

সুতরাং, $f(0)$ এর সঠিক মান হলো $3$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো (-2, 1)। বিষয়টির সহজ সমাধান নিচে দেওয়া হলো:

• প্রথমে প্রদত্ত রাশিটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি: $x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$
• উৎপাদক দুটি থেকে আমরা সংকট বিন্দু (critical points) পাই $x = -2$ এবং $x = 1$।
• বিন্দু দুটি পর্যবেক্ষণ করলে দেখা যায়, মানগুলো $-2$ থেকে $1$ এর মধ্যবর্তী সীমায় থাকে। ফলে অসমতাটির সমাধান ব্যবধি (interval) হবে $(-2, 1)$ বা $-2 < x < 1$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 0। সমীকরণটিতে মান বসিয়ে খুব সহজেই এটি সমাধান করা যায়:

দেওয়া আছে, $f(x) = x^3 + kx^2 - 6x - 9$ এবং $f(3) = 0$।

• এখন, ফাংশনে $x = 3$ বসিয়ে পাই:
• $f(3) = 3^3 + k(3)^2 - 6(3) - 9 = 0$
• $\Rightarrow 27 + 9k - 18 - 9 = 0$
• $\Rightarrow 9k + 27 - 27 = 0$
• $\Rightarrow 9k = 0$
• $\Rightarrow k = 0$

অর্থাৎ, $k$ এর মান $0$ হলে $f(3) = 0$ হবে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 10। বিষয়টা একদম সহজ—ফাংশনে $x$-এর মান $0$ বসিয়ে দিলেই সরাসরি উত্তর চলে আসবে।

সহজ হিসাবটি নিচে দেখে নাও:

• প্রদত্ত ফাংশন: $f(x) = x^3 - 2x + 10$
• এখন $x = 0$ বসিয়ে পাই: $f(0) = 0^3 - 2(0) + 10$
• সুতরাং: $f(0) = 0 - 0 + 10 = 10$

তাই $f(0)$-এর সঠিক মান হবে 10।