গণিত

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option B: 17/3। প্রশ্নটি সমাধান করা খুবই সহজ, শুধু প্রদত্ত ফাংশনে $x$ এর জায়গায় $6$ বসিয়ে হিসাব করতে হবে।

• প্রদত্ত ফাংশন: $f(x) = \frac{2x + 5}{x - 3}$
• এখন $x = 6$ বসিয়ে পাই: $f(6) = \frac{2 \times 6 + 5}{6 - 3}$
• সরলীকরণ করলে: $f(6) = \frac{12 + 5}{3} = \frac{17}{3}$

তাই সঠিক মানটি হলো $\frac{17}{3}$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 2,3। মিডল টার্ম ফ্যাক্টর (Middle Term Factor) করে খুব সহজেই মান দুটি বের করে ফেলা যায়:

• প্রশ্নমতে, $f(x) = 0$, তাই $x^2 - 5x + 6 = 0$
• বা, $x^2 - 3x - 2x + 6 = 0$
• বা, $x(x - 3) - 2(x - 3) = 0$
• বা, $(x - 2)(x - 3) = 0$

তাহলে, হয় $x - 2 = 0 \implies x = 2$ অথবা $x - 3 = 0 \implies x = 3$। সুতরাং, $x$-এর মান হলো 2, 3।

এখানে প্রদত্ত ফাংশনটিতে $x = -\frac{1}{2}$ বসিয়ে সাধারণ হিসাব করলেই উত্তর চলে আসবে।

• প্রদত্ত ফাংশন: $f(x) = \frac{4x - 3}{2x - 4}$
• এখন $x$ এর জায়গায় $-\frac{1}{2}$ বসাই: $$f\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{4\left(-\frac{1}{2}\right) - 3}{2\left(-\frac{1}{2}\right) - 4}$$
• লবের মান: $4\left(-\frac{1}{2}\right) - 3 = -2 - 3 = -5$
• হরের মান হিসাব করে ভাগ করলে চূড়ান্ত মান দাঁড়ায় $-1$।

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো $-1$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option D: $x \ge -2$। হিসাবটি খুবই সহজ:

• প্রদত্ত অসমতা: $3 - 2x \le 7$
• উভয় পক্ষ থেকে $3$ বিয়োগ করে পাই: $-2x \le 7 - 3$ বা, $-2x \le 4$
• এবার উভয় পক্ষকে $-2$ দিয়ে ভাগ করি। মনে রাখবেন, ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন বদলে যায় (যেমন: $\le$ চিহ্নটি উল্টে $\ge$ হয়ে যায়)।
• তাহলে পাই: $x \ge \frac{4}{-2}$ বা, $x \ge -2$

তাই নির্ণেয় সমাধান হলো $x \ge -2$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option D ($x \ge -2$)। অসমতাটি সমাধান করা খুবই সহজ:

• প্রদত্ত অসমতা: $6 - 4x \le 14$
• উভয় পক্ষ থেকে $6$ বিয়োগ করে পাই: $-4x \le 14 - 6 \implies -4x \le 8$
• এখন উভয় পক্ষকে $-4$ দিয়ে ভাগ করি। ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন উল্টে যায়: $x \ge \frac{8}{-4}$
• সুতরাং, $x \ge -2$

সহজ ট্রিক: অসমতায় ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে $\le$ চিহ্নটি উল্টে $\ge$ হয়ে যায়।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option A। প্রশ্নটির অসমতা মিডল টার্ম করে খুব সহজেই সমাধান করা যায়:

• উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
  $$x^2 - 2x - 15 > 0$$ $$\Rightarrow x^2 - 5x + 3x - 15 > 0$$ $$\Rightarrow (x - 5)(x + 3) > 0$$
• শর্ত প্রয়োগ: দুটি উৎপাদকের গুণফল ধনাত্মক ($> 0$) হলে, চলকের মান বড় মূলের চেয়ে বড় ($x > 5$) অথবা ছোট মূলের চেয়ে ছোট ($x < -3$) হতে হয়।

সুতরাং নির্ণেয় সমাধান সেট: $S = \{x : x > 5$ অথবা $x < -3\}$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $x > 2$ অথবা $x < 0$। বিষয়টিকে খুব সহজে সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়:

$y$ ধনাত্মক হবে যখন $y > 0$ হবে। অর্থাৎ, $3x^2 - 6x > 0$ হতে হবে।

• উৎপাদকে প্রকাশ করলে পাই: $3x(x - 2) > 0$

দুইটি সংখ্যার গুণফল ধনাত্মক ($>0$) হওয়ার দুটি সম্ভাবনা থাকে:

• প্রথমত (দুটিই ধনাত্মক হলে): $x > 0$ এবং $(x - 2) > 0$, অর্থাৎ $x > 2$
• দ্বিতীয়ত (দুটিই ঋণাত্মক হলে): $x < 0$ এবং $(x - 2) < 0$, অর্থাৎ $x < 0$

সুতরাং, $x > 2$ অথবা $x < 0$ হলে $y$-এর মান ধনাত্মক হবে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $(-\infty, -2) \cup (5, +\infty)$। বিষয়টির সহজ সমাধান নিচে দেওয়া হলো:

• প্রথমে অসমতাটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি: $$x^2 - 3x - 10 > 0$$ $$\Rightarrow x^2 - 5x + 2x - 10 > 0$$ $$\Rightarrow (x - 5)(x + 2) > 0$$
• এখান থেকে আমরা দুটি মূল বা সংকট বিন্দু পাই: $x = -2$ এবং $x = 5$।
• যেহেতু গুণফলটি $0$-এর চেয়ে বড় ($>$), তাই সমাধান হবে ছোট মানটির চেয়ে ছোট ($x < -2$) অথবা বড় মানটির চেয়ে বড় ($x > 5$)।

ব্যবধির (interval) মাধ্যমে প্রকাশ করলে পাই: $(-\infty, -2) \cup (5, +\infty)$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৭। দেওয়া অসমতাটিকে দুই ভাগে ভাগ করে আমরা খুব সহজেই সমাধান করতে পারি:

• প্রথম অংশ: $2x - 7 < 8 \implies 2x < 15 \implies x < 7.5$
• দ্বিতীয় অংশ: $8 < 3x - 11 \implies 3x > 19 \implies x > 6.33$

অর্থাৎ, $x$-এর মান $6.33$ থেকে বড় এবং $7.5$ থেকে ছোট হতে হবে। এই সীমার মধ্যে একমাত্র পূর্ণসংখ্যাটি হলো $7$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $b < a$। কারণ বিষয়টাই খুব সহজ:

• প্রশ্ন অনুযায়ী $a$ ও $b$ উভয়ই ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (positive integer), অর্থাৎ $b \ge 1$।
• প্রদত্ত সমীকরণ $a - 3.5b = 47$ থেকে পাই, $$a = 47 + 3.5b$$
• যেহেতু $b$ ধনাত্মক, তাই $47$-এর সাথে $3.5b$ যোগ করলে $a$-এর মান সবসময় $b$-এর থেকে বেশ বড় আসবে (যেমন: $b = 1$ হলে $a = 50.5$, যা $b$-এর চেয়ে বড়)।

অর্থাৎ সবসময় $a > b$ হবে, যাকে লেখা যায় $b < a$।