গণিত

এখানে সঠিক উত্তর হলো $y$। কারণ বিষয়টা খুব সহজ:

• দুটো সংখ্যার গুণফল $xy < 0$ দেওয়া আছে, যার অর্থ $x$ এবং $y$-এর চিহ্ন বিপরীত—অর্থাৎ একটি ধনাত্মক এবং অপরটি ঋণাত্মক।
• প্রশ্নে বলা আছে $x > y$, অর্থাৎ $x$ হলো বড় সংখ্যা এবং $y$ হলো ছোট সংখ্যা।
• যেহেতু একটি ধনাত্মক এবং একটি ঋণাত্মক, তাই বড় সংখ্যা $x$ অবশ্যই ধনাত্মক ($x > 0$) এবং ছোট সংখ্যা $y$ অবশ্যই ঋণাত্মক ($y < 0$) হবে।

তাই নিঃসন্দেহে $y$ সংখ্যাটি ঋণাত্মক।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $a + x < b + y$। অসমতার ক্ষেত্রে নিয়মটি খুব সহজ—একই চিহ্নের দুটি অসমতাকে পাশাপাশি যোগ করলে চিহ্নের কোনো পরিবর্তন হয় না।

বিষয়টি এভাবে সহজে দেখা যাক:

• প্রথম অসমতা: $a < b$
• দ্বিতীয় অসমতা: $x < y$
• বাম পাশ দুটি যোগ করলে পাই: $a + x$
• ডান পাশ দুটি যোগ করলে পাই: $b + y$

যেহেতু ছোট সংখ্যা দুটির যোগফল সব সময়ই বড় সংখ্যা দুটির যোগফল অপেক্ষা ছোট হবে, তাই তাদের যোগফল দাঁড়াবে $a + x < b + y$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো সবগুলোই। কারণ $x > 0$ এবং $y > 0$ শর্তে $x$ ও $y$ এর সুনির্দিষ্ট কোনো মান দেওয়া নেই। ফলে তাদের মানের ওপর ভিত্তি করে তিনটি সম্ভাবনাই তৈরি হতে পারে:

• $x$ এর মান $y$ এর চেয়ে বড় হলে $x > y$ হবে।
• $x$ এর মান $y$ এর চেয়ে ছোট হলে $x < y$ হবে।
• $x$ এবং $y$ এর মান সমান হলে $x = y$ হবে।

যেহেতু যেকোনো মান বসিয়ে তিনটি সম্পর্কই প্রকাশ করা সম্ভব, তাই এখানে সবগুলো সম্পর্কই সঠিক।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $\frac{n+1}{2}$। হিসাবটা একদম সহজ:

• $1, 2, 3, \dots, n$ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোর মোট যোগফল হলো $\frac{n(n+1)}{2}$।
• গড় (Arithmetic Mean) বের করার সূত্র হলো—মোট যোগফলকে মোট পদ সংখ্যা ($n$) দিয়ে ভাগ করা।
• সুতরাং, নির্ণেয় গড় = $\frac{n(n+1)}{2 \times n} = \frac{n+1}{2}$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $(-\infty, 1/2) \cup (3/2, +\infty)$। শর্টকাট নিয়মে সহজেই এটি সমাধান করা যায়:

• প্রদত্ত অসমতা: $\frac{1}{|x-1|} < 2$ (যেখানে $x \neq 1$)
• ব্যস্তকরণ বা উল্টে দিলে অসমতার দিক বদলে যায়: $|x-1| > \frac{1}{2}$
• পরমমানের নিয়ম অনুযায়ী: $x - 1 > \frac{1}{2}$ অথবা $x - 1 < -\frac{1}{2}$
• প্রথম অংশ থেকে পাই: $x > \frac{3}{2}$ (অর্থাৎ, $(3/2, +\infty)$)
• দ্বিতীয় অংশ থেকে পাই: $x < \frac{1}{2}$ (অর্থাৎ, $(-\infty, 1/2)$)

সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান সেট: $x \in (-\infty, 1/2) \cup (3/2, +\infty)$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option A: 273। কারণ বিষয়টা খুব সহজ:

• যেসব সংখ্যাকে দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত বা $\frac{a}{b}$ আকারে প্রকাশ করা যায় না (যেখানে $b \neq 0$), সেগুলোই হলো অমূলদ সংখ্যা।
• সংখ্যাটি কোনো পূর্ণবর্গ সংখ্যা না হওয়ায় এর বর্গমূল $\sqrt{273}$ একটি অসীম অনাবৃত দশমিক সংখ্যা নির্দেশ করে।
• যেহেতু একে দুটি পূর্ণসংখ্যার ভগ্নাংশ হিসেবে প্রকাশ করা অসম্ভব, তাই এটি একটি অমূলদ সংখ্যা।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option D: $xz < yz$। কারণ অসমতার নিয়মটি খুবই সহজ!

• অসমতার (Inequality) উভয় পাশে যদি কোনো ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করা হয়, তবে অসমতার দিক বা চিহ্নটি উল্টে যায়।
• এখানে দেওয়া আছে $x > y$ এবং $z < 0$ (অর্থাৎ $z$ একটি ঋণাত্মক সংখ্যা)।
• সুতরাং, $x > y$ অসমতাটির উভয় পাশে ঋণাত্মক সংখ্যা $z$ গুণ করলে $>$ চিহ্নটি উল্টে গিয়ে $<$ হয়ে যাবে, অর্থাৎ: $xz < yz$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 1275। ১ থেকে ৫০ পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল একটি সহজ সূত্রের মাধ্যমে খুব দ্রুত বের করা যায়।

আমরা জানি, প্রথম $n$ টি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্র হলো: $$S = \frac{n(n + 1)}{2}$$

এখানে, পদসংখ্যা $n = 50$। সূত্রে মান বসিয়ে পাই:

• $$S = \frac{50 \times (50 + 1)}{2}$$
• $$S = \frac{50 \times 51}{2}$$
• $$S = 25 \times 51 = 1275$$

কাজেই, ১ থেকে ৫০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল হবে 1275।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 4950।

১ থেকে $n$ পর্যন্ত পরপর স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল নির্ণয়ের সহজ সূত্রটি হলো:

$$S = \frac{n(n + 1)}{2}$$

এখানে শেষ পদ, $n = 99$। সূত্রে মান বসিয়ে খুব সহজেই হিসেবটি করে ফেলা যায়:

• $$S = \frac{99 \times (99 + 1)}{2}$$
• $$S = \frac{99 \times 100}{2}$$
• $$S = 99 \times 50 = 4950$$

সুতরাং, ১ হতে ৯৯ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল ৪৯৫০।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৫০৫০। $1$ থেকে $n$ পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল বের করার সূত্র দিয়ে এটি খুব সহজেই সমাধান করা যায়।

ক্রমিক সংখ্যার যোগফলের সূত্র: $$S_n = \frac{n(n + 1)}{2}$$

এখানে মোট পদ সংখ্যা, $n = 100$

• নির্ণেয় যোগফল = $\frac{100 \times (100 + 1)}{2}$
• = $\frac{100 \times 101}{2}$
• = $50 \times 101 = 5050$