গণিত

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option C: 620। একটি সহজ শর্টকাট সূত্রের সাহায্যে এটি দ্রুত বের করা যায়:

• পদসংখ্যা ($n$): $35 - 5 + 1 = 31$
• সূত্র: সমষ্টি = $\frac{a + l}{2} \times n$ (যেখানে $a = 5$ হলো প্রথম পদ এবং $l = 35$ হলো শেষ পদ)
• হিসাব: $\frac{5 + 35}{2} \times 31 = \frac{40}{2} \times 31 = 20 \times 31 = 620$

সুতরাং, ৫ থেকে ৩৫ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মোট যোগফল হলো ৬২০।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 1025। খুব সহজ একটি সূত্রের সাহায্যে ৫ থেকে ৪৫ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল বের করা যায়।

এটি একটি সমান্তর ধারা ($5, 6, 7, \dots, 45$), যেখানে:

• প্রথম পদ, $a = 5$
• শেষ পদ, $l = 45$
• মোট পদসংখ্যা, $n = (45 - 5) + 1 = 41$

যোগফল নির্ণয়ের সূত্রটি হলো: $\frac{a + l}{2} \times n$

এখন মান বসিয়ে পাই:

এখানে সঠিক উত্তর হলো 4170। ৪০ থেকে ৯৯ পর্যন্ত সমান্তর ধারাটির যোগফল খুব সহজেই একটি শর্টকাট সূত্রের মাধ্যমে বের করা যায়।

• মোট পদসংখ্যা ($n$): $99 - 40 + 1 = 60$ টি।
• যোগফলের সূত্র: $\frac{\text{প্রথম পদ} + \text{শেষ পদ}}{2} \times \text{পদসংখ্যা}$
• মান বসিয়ে পাই: $\frac{40 + 99}{2} \times 60$
• সহজ হিসাব: $139 \times 30 = 4170$

সুতরাং, ধারাটির মোট যোগফল হলো 4170।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 121। প্রথম থেকে শুরু হওয়া বিজোড় সংখ্যার ধারার যোগফল বের করার একটি চমৎকার শর্টকাট নিয়ম রয়েছে:

• পদসংখ্যা ($n$) নির্ণয়: ধারাটিতে মোট কয়টি সংখ্যা আছে তা বের করতে শেষ পদের সাথে $1$ যোগ করে $2$ দিয়ে ভাগ করতে হয়। এখানে, $n = \frac{21 + 1}{2} = 11$।
• যোগফল নির্ণয়: প্রথম $n$ টি বিজোড় সংখ্যার যোগফলের সূত্র হলো $n^2$।
• হিসাব: সুতরাং, ধারাটির যোগফল হবে $11^2 = 121$।

খুব সহজেই শর্টকাট সূত্রটি জানা থাকলে কোনো বড় হিসাব ছাড়াই উত্তর 121 বের করা সম্ভব!

এখানে সঠিক উত্তর হলো 100। প্রথম $n$ টি বিজোড় সংখ্যার যোগফল নির্ণয় করার খুব সহজ শর্টকাট সূত্র হলো $n^2$।

সহজ ধাপে হিসাবটি করে ফেলা যাক:

• প্রথমে মোট পদসংখ্যা ($n$) বের করি: $n = \frac{19 + 1}{2} = 10$ টি।
• এবার সূত্র অনুযায়ী যোগফল নির্ণয় করি: $n^2 = 10^2 = 100$।

সুতরাং, $1 + 3 + 5 + \dots + 19$ এর যোগফল হবে 100।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ২৫। ১ থেকে শুরু করে যেকোনো নির্দিষ্ট ক্রমিক সংখ্যার গড় বের করার সবচেয়ে সহজ শর্টকাট নিয়মটি হলো প্রথম সংখ্যা ও শেষ সংখ্যা যোগ করে ২ দিয়ে ভাগ করা।

• প্রথম সংখ্যা = $1$
• শেষ সংখ্যা = $49$
• গড় = $\frac{1 + 49}{2} = \frac{50}{2} = 25$

সুতরাং, ১ থেকে ৪৯ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর গড় হলো ২৫।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 24.5। যেকোনো ক্রমিক সংখ্যা বা সমান্তর ধারার গড় বের করার শর্টকাট নিয়মটি খুবই সহজ—প্রথম সংখ্যা আর শেষ সংখ্যা যোগ করে ২ দিয়ে ভাগ করে দিলেই গড় পাওয়া যায়।

• প্রথম সংখ্যা: $0$
• শেষ সংখ্যা: $49$
• গড়: $\frac{0 + 49}{2} = \frac{49}{2} = \mathbf{24.5}$

এখানে সঠিক উত্তর হলো $n^2$। কারণ প্রথম $n$ সংখ্যক বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল সবসময় পদসংখ্যার বর্গের ($n^2$) সমান হয়।

বিষয়টি একটি সহজ ট্রিক দিয়ে সহজেই বুঝে নেওয়া যায়:

• ১টি পদের যোগফল: $1 = 1^2$
• ২টি পদের যোগফল: $1 + 3 = 4 = 2^2$
• ৩টি পদের যোগফল: $1 + 3 + 5 = 9 = 3^2$

ঠিক একইভাবে, ধারাটিতে $n$ সংখ্যক বিজোড় পদ থাকায় এদের সমষ্টি হবে $n^2$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ২। খুব সহজে দুই ধাপে অংকটি সমাধান করা যায়:

• ১ম ধাপ (পদসংখ্যা নির্ণয়): ধারার সমষ্টির সূত্র $S_n = \frac{n}{2}(a + p)$ বসিয়ে পাই,
  $2500 = \frac{n}{2}(1 + 99)$
  $\implies 2500 = 50n$
  $\implies n = 50$ (ধারায় মোট ৫০টি পদ আছে)
• ২য় ধাপ (সাধারণ অন্তর নির্ণয়): শেষ পদের সূত্র $p = a + (n - 1)d$ বসিয়ে পাই,
  $99 = 1 + (50 - 1)d$
  $\implies 98 = 49d$
  $\implies d = 2$

সুতরাং, ধারাটির সাধারণ অন্তর হলো ২।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ২৯। বিষয়ভিত্তিক সমাধানটি বেশ সহজ—সমান্তর প্রগতির পরপর দুটি সংখ্যার পার্থক্য বা সাধারণ অন্তর সবসময় সমান থাকে।

• সাধারণ অন্তর ($d$) = $17 - 5 = 12$
• তৃতীয় সংখ্যাটি = $17 + 12 = 29$

সুতরাং, দ্বিতীয় পদ $17$-এর সাথে সাধারণ অন্তর $12$ যোগ করলেই পাওয়া যায় তৃতীয় সংখ্যাটি ২৯।