গণিত

এখানে সঠিক উত্তর হলো ২২। খুব সহজ একটি শর্টকাট নিয়মে এটি সমাধান করা যায়:

• প্রথম বিভাজ্য সংখ্যা: $12$, যা $4 \times 3$
• শেষ বিভাজ্য সংখ্যা: $96$, যা $4 \times 24$
• মোট পদসংখ্যা বের করার সূত্র: (শেষ পদ − প্রথম পদ) $\div$ সাধারণ অন্তর $+ 1$
• গণনা: $\frac{96 - 12}{4} + 1 = \frac{84}{4} + 1 = 21 + 1 = 22$

অর্থাৎ, ১২ থেকে ৯৬ এর মধ্যে ৪ দ্বারা বিভাজ্য মোট সংখ্যা রয়েছে ২২ টি।

এখানে প্রথম $n$ টি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টির সূত্রটি ব্যবহার করে খুব সহজেই উত্তর বের করে ফেলা যায়।

প্রথম $n$ টি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টির সূত্র হলো: $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

এখানে মোট পদসংখ্যা, $n = 50$। এখন সূত্রে মান বসিয়ে পাই:

• $=\frac{50 \times (50 + 1) \times (2 \times 50 + 1)}{6}$
• $=\frac{50 \times 51 \times 101}{6}$
• $= 25 \times 17 \times 101$
• $= 42925$

তাই হিসাব করে আমরা পাই সঠিক উত্তর 42925।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 256। এটি $1$ থেকে $31$ পর্যন্ত বিজোড় সংখ্যাগুলোর যোগফল বের করার একটি সহজ নিয়ম।

• পদসংখ্যা নির্ণয়: ধারাটির শেষ পদ $31$ হলে, মোট পদসংখ্যা $n = \frac{31 - 1}{2} + 1 = 16$।
• যোগফলের শর্টকাট সূত্র: প্রথম $n$ টি বিজোড় সংখ্যার যোগফলের সূত্র হলো $n^2$।
• হিসাব: সুতরাং, ধারাটির যোগফল হবে $= 16^2 = 256$।

সহজ কথায়, বিজোড় সংখ্যার পদসংখ্যা $16$ টি হলে উত্তর সরাসরি $16 \times 16 = 256$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $\left[\frac{n(n + 1)}{2}\right]^2$।

প্রথম $n$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের (cube) যোগফল নির্ণয়ের জন্য এটি একটি নির্ধারিত গাণিতিক সূত্র।

বিষয়টি সহজে মনে রাখার উপায়:

• প্রথম $n$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সাধারণ যোগফলের সূত্র হলো $\frac{n(n + 1)}{2}$।
• এই সাধারণ যোগফলের মানকে বর্গ (square) করলেই ঘনের যোগফল পাওয়া যায়, অর্থাৎ $\left[\frac{n(n + 1)}{2}\right]^2$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 3348900। প্রথম $n$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘন (Cube)-এর সমষ্টি বের করার সূত্রটি জানা থাকলে অংকটি খুব সহজেই সমাধান করা যায়।

ঘন-এর সমষ্টির সূত্র: $\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$

এখানে মোট পদসংখ্যা $n = 60$। সূত্রে মান বসিয়ে হিসাবটি নিচে দেওয়া হলো:

• সমষ্টি = $\left[\frac{60 \times (60 + 1)}{2}\right]^2$
• $= \left[\frac{60 \times 61}{2}\right]^2$
• $= (30 \times 61)^2$
• $= (1830)^2 = 3348900$

এখানে সঠিক উত্তর হলো 44100। প্রথম $n$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের (cube) যোগফল বের করার সূত্র জানা থাকলে অংকটি একদম সহজেই সমাধান করা যায়।

আমরা জানি, ঘনের যোগফলের সূত্র হলো: $\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$

• এখানে মোট পদ বা শেষ পদ, $n = 20$
• সূত্রে মান বসিয়ে পাই: $\left[\frac{20 \times (20 + 1)}{2}\right]^2$
• $= \left[\frac{20 \times 21}{2}\right]^2 = (10 \times 21)^2$
• $= 210^2 = \mathbf{44100}$

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option B: n = 5। হিসাবটা খুব সহজ!

আমরা জানি, প্রথম $n$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্র হলো $\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$।

প্রশ্নানুসারে step-by-step সমাধান:

• $$\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2 = 225$$
• উভয় পাশে বর্গমূল করলে পাই, $\frac{n(n+1)}{2} = \sqrt{225} = 15$
• বা, $n(n+1) = 30$

যেহেতু $5 \times (5 + 1) = 5 \times 6 = 30$, তাই খুব সহজেই বোঝা যাচ্ছে $n$-এর মান হবে 5।

এখানে সঠিক উত্তর হলো জ্যামিতিক হার।

লক্ষ্য করুন, ধারাটি হলো $2, 4, 8, 16, 32, \dots$। এখানে প্রতিটি পদ তার আগের পদের সাথে সমপরিমাণ যোগ হয়ে নয়, বরং নির্দিষ্ট সংখ্যা (২) দিয়ে গুণ হয়ে বা দ্বিগুণ হারে বাড়ছে:

• $2 \times 2 = 4$
• $4 \times 2 = 8$
• $8 \times 2 = 16$

কোনো কিছু যখন এভাবে যোগ আকারে না বেড়ে গুণিতক বা গুণোত্তর অনুপাতে দ্রুত বৃদ্ধি পায়, তখন সেই বৃদ্ধির ধারাকে জ্যামিতিক হার (Geometric Progression) বলা হয়।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৩/৫। বিষয়টির সহজ সমাধান নিচে দেওয়া হলো:

• ধরি, প্রতিটি সংখ্যার সাথে $x$ যোগ করতে হবে।
• সংখ্যাগুলো জ্যামিতিক প্রগমনে থাকবে, তাই মাঝের পদের বর্গ অন্য দুটি পদের গুণফলের সমান হবে: $$(50+x)^2 = (20+x)(100+x)$$
• এখন সমীকরণটি সমাধান করি: $$2500 + 100x + x^2 = 2000 + 120x + x^2$$ $$\implies 20x = 500 \implies x = 25$$
• সুতরাং, সংখ্যাগুলো হলো: $(20+25) = 45$, $(50+25) = 75$ এবং $(100+25) = 125$
• অতএব, প্রগমনের অনুপাত হলো: $\frac{45}{75} = \frac{3}{5}$

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১১ তম পদ। এটি একটি গুণোত্তর ধারা।

সহজ সমাধানটি দেখে নেওয়া যাক:

• প্রথম পদ, $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$
• সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{1}{1/\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
• গুণোত্তর ধারার $n$-তম পদ = $a r^{n-1}$

প্রশ্নমতে,

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \times (\sqrt{2})^{n-1} = 8\sqrt{2}$$

$$(\sqrt{2})^{n-1} = 8\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 16$$

এখানে সূচকের হিসাব অনুযায়ী $n - 1 = 10$ হলে $n = 11$ পাওয়া যায়। সুতরাং, ধারাটির নির্ণেয় পদ হলো ১১ তম পদ।