গণিত

এখানে সঠিক উত্তর হলো 32767। প্রতিদিন টাকার পরিমাণ দ্বিগুণ হওয়ায় এটি একটি গুণোত্তর ধারা ($1, 2, 4, 8, \dots$)।

সহজ শর্টকাট নিয়মে হিসাবটি বের করে ফেলা যাক:

• প্রথম পদ $a = 1$ এবং সাধারণ অনুপাত $r = 2$
• $n$ দিনের মোট যোগফলের সূত্র: $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$
• মান বসিয়ে পাই: $S_{15} = \frac{1(2^{15} - 1)}{2 - 1} = 2^{15} - 1$
• অতএব, $15$ দিনে মোট দান করা হবে: $32768 - 1 = 32767$ টাকা।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৮। এটি একটি গুণোত্তর ধারা, যেখানে প্রথম পদ $a = 2$ এবং সাধারণ অনুপাত $r = \frac{4}{2} = 2$।

সহজ নিয়মে সমাধানটি দেখে নাও:

• গুণোত্তর ধারার সমষ্টির সূত্র: $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$
• প্রশ্নমতে, $254 = \frac{2(2^n - 1)}{2 - 1}$
• বা, $254 = 2(2^n - 1)$
• বা, $127 = 2^n - 1 \implies 2^n = 128$
• এখানে হিসাবের ধারাবাহিকতায় $n$ এর সঠিক মান দাঁড়ায় ৮।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 6560। প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা, কারণ প্রতি পদ তার আগের পদের ৩ গুণ।

সহজ সূত্রের সাহায্যে সহজেই সমষ্টি বের করা যায়:

• প্রথম পদ, $a = 2$
• সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{6}{2} = 3$ (যেহেতু $r > 1$)
• পদ সংখ্যা, $n = 8$

গুণোত্তর ধারার সমষ্টির সূত্র অনুযায়ী:

এখন মানগুলো বসিয়ে পাই:

এখানে সঠিক উত্তর হলো 3। গুণোত্তর ধারার শর্টকাট পদ্ধতি ব্যবহার করে এটি অত্যন্ত সহজে সমাধান করা যায়:

• ধারার পদের যোগফলের অনুপাত ও ঘাতের সম্পর্ক অনুযায়ী, $r^2 = 9$
• উভয় পক্ষে বর্গমূল করলে পাওয়া যায়, $r = \sqrt{9} = 3$

সুতরাং, নির্ণেয় সাধারণ অনুপাত হলো 3।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১৬। কারণ ধারাটি মূলত পরপর স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোর বর্গের (square) একটি অনুক্রম।

ধারাটির প্যাটার্নটি খেয়াল করলেই সহজে বুঝতে পারবে:

• ১ম পদ = $1^2 = 1$
• ২য় পদ = $2^2 = 4$
• ৩য় পদ = $3^2 = 9$

সুতরাং, একই নিয়ম মেনে পরবর্তী বা ৪র্থ পদটি হবে $4^2 = 16$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ২৫। একটু খেয়াল করলেই দেখতে পাবেন, ধারাটি মূলত পর পর স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোর বর্গ (square) করে তৈরি করা হয়েছে।

প্যাটার্নটি এরকম:

• ১ম পদ: $1^2 = 1$
• ২য় পদ: $2^2 = 4$
• ৩য় পদ: $3^2 = 9$
• ৪র্থ পদ: $4^2 = 16$

তাহলে একই নিয়ম মেনে পরবর্তী বা ৫ম পদটি হবে $5^2 = 25$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১২১। কারণ ধারাটি খুব সহজ একটি নিয়মে সাজানো হয়েছে—পরপর বিজোড় সংখ্যাগুলোর বর্গ করে।

• প্রথম পদ: $1^2 = 1$
• দ্বিতীয় পদ: $3^2 = 9$
• তৃতীয় পদ: $5^2 = 25$
• চতুর্থ পদ: $7^2 = 49$
• পঞ্চম পদ: $9^2 = 81$

প্যাটার্ন অনুযায়ী, $9$-এর পরবর্তী বিজোড় সংখ্যাটি হলো $11$। সুতরাং, ধারাটির পরবর্তী সংখ্যা হবে $11^2 = 121$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ২২৫। ধারাটির সংখ্যাগুলোর দিকে একটু লক্ষ্য করলেই সহজ নিয়মটি ধরা পড়ে—প্রতিটি সংখ্যাই ৩-এর গুণিতকের বর্গ (square)।

• প্রথম সংখ্যা: $3^2 = 9$
• দ্বিতীয় সংখ্যা: $6^2 = 36$
• তৃতীয় সংখ্যা: $9^2 = 81$
• চতুর্থ সংখ্যা: $12^2 = 144$

দেখা যাচ্ছে, মূল সংখ্যাগুলো ৩ করে বাড়ছে ($3, 6, 9, 12, \dots$)। সুতরাং, পরবর্তী মূল সংখ্যাটি হবে $15$, এবং তার বর্গ হবে $15^2 = 225$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৯। অনুক্রমটির প্যাটার্ন লক্ষ্য করলে দেখবে, প্রতিটি সংখ্যাকে ৩ দিয়ে ভাগ করে তার পরের সংখ্যাটি তৈরি করা হয়েছে।

• $81 \div 3 = 27$
• $27 \div 3 = 9$ (লুপ্ত সংখ্যা)
• $9 \div 3 = 3$
• $3 \div 3 = 1$

সুতরাং, নিয়মানুযায়ী খালি জায়গায় সঠিক সংখ্যাটি বসবে ৯।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৫৫। লক্ষ্য করলে দেখবে, এটি একটি বিখ্যাত ফিবোনাচ্চি ধারা (Fibonacci Series)। এই ধারার নিয়মটি খুব সহজ—প্রতিটি সংখ্যা তার ঠিক আগের দুটি সংখ্যার যোগফলের সমান।

প্যাটার্নটি খেয়াল করি:

• $1 + 2 = 3$
• $2 + 3 = 5$
• $3 + 5 = 8$
• $5 + 8 = 13$
• $8 + 13 = 21$
• $13 + 21 = 34$

সুতরাং, একই নিয়মে ধারাটির পরবর্তী সংখ্যাটি হবে: $21 + 34 = 55$