গণিত

এখানে সঠিক উত্তর হলো 21। সহজ কথায়, এটি একটি ফিবোনাচ্চি (Fibonacci) ধারা। এই ধারার নিয়ম হচ্ছে—প্রথম দুটি পদের পর প্রতিটি পদ হবে তার ঠিক আগের দুটি পদের যোগফল।

চলুন ধারাটি পর পর লিখে হিসাব করি:

• ১ম ও ২য় পদ: $1, 1$
• ৩য় পদ: $1 + 1 = 2$
• ৪র্থ পদ: $1 + 2 = 3$
• ৫ম পদ: $2 + 3 = 5$
• ৬ষ্ঠ পদ: $3 + 5 = 8$
• ৭ম পদ: $5 + 8 = 13$
• ৮ম পদ: $8 + 13 = 21$

সুতরাং, ধারাটির অষ্টম (৮ম) পদটি হলো $21$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 101। ধারাটির পরপর দুটি সংখ্যার পার্থক্য লক্ষ্য করলেই প্যাটার্নটি স্পষ্ট হয়ে যাবে:

• $11 - 8 = 3$
• $17 - 11 = 6$
• $29 - 17 = 12$
• $53 - 29 = 24$

দেখা যাচ্ছে, প্রতিটি পদের পার্থক্য তার আগের পার্থক্যের দ্বিগুণ হচ্ছে। সে অনুযায়ী পরবর্তী পার্থক্যটি হবে $24 \times 2 = 48$।

সুতরাং, ধারার পরবর্তী সংখ্যাটি হবে $53 + 48 = \mathbf{101}$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 99। সংখ্যাগুলোর মধ্যবর্তী পার্থক্য খেয়াল করলেই প্যাটার্নটি সহজে বোঝা যাবে:

• প্রথম ও দ্বিতীয় পদের পার্থক্য: $33 - 19 = 14$
• দ্বিতীয় ও তৃতীয় পদের পার্থক্য: $51 - 33 = 18$
• তৃতীয় ও চতুর্থ পদের পার্থক্য: $73 - 51 = 22$

পার্থক্যগুলো লক্ষ্য করলে দেখা যায়, প্রতিবার পার্থক্য $4$ করে বাড়ছে ($14, 18, 22$)।

তাই পরবর্তী পদের সাথে পার্থক্য হবে: $22 + 4 = 26$

অতএব, ধারার পরবর্তী সংখ্যাটি হবে: $73 + 26 = 99$

এখানে সঠিক উত্তর হলো 66। ধারার পদগুলো খেয়াল করলেই দেখা যাবে, এটি প্রথম $n$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফলের একটি নিয়ম মেনে চলছে।

এই ধারার যেকোনো $n$-তম পদ নির্ণয়ের সহজ সূত্রটি হলো: $\frac{n(n + 1)}{2}$

আমাদের ১১তম (একাদশ) পদ বের করতে হবে, তাই $n = 11$ বসিয়ে পাই:

• ১১তম পদ = $\frac{11 \times (11 + 1)}{2}$
• = $\frac{11 \times 12}{2}$
• = $11 \times 6 = \mathbf{66}$

এখানে সঠিক উত্তর হলো 21। ধারাটির পরপর দুটি পদের পার্থক্য খেয়াল করলেই নিয়মটি পরিষ্কার হয়ে যাবে:

• $3 - 1 = 2$
• $6 - 3 = 3$
• $10 - 6 = 4$
• $15 - 10 = 5$

দেখাই যাচ্ছে, প্রতি পদে পার্থক্য $1$ করে বাড়ছে ($2, 3, 4, 5\dots$)। সেই ধারাবাহিকতায় পরবর্তী পার্থক্যটি হবে $6$।

সুতরাং, ধারাটির পরবর্তী পদ হবে $15 + 6 =$ $21$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১৩। কারণ ধারাটিতে পরপর দুটি পদের পার্থক্য ২ করে বৃদ্ধি পাচ্ছে:

• $3 - 1 = 2$
• $7 - 3 = 4$

পার্থক্যগুলো ধারাবাহিকভাবে $2, 4, 6, 8, 10, 12$ হিসেবে বাড়ছে। তাই খালি ঘরের পদটি বের করতে ৩য় পদ $7$-এর সাথে $6$ যোগ করতে হবে:

$$7 + 6 = 13$$

নিয়মটি ঠিক আছে কিনা তা নিশ্চিত করতে পরের পদে $8$ যোগ করলে পাই, $13 + 8 = 21$, যা ধারার পরবর্তী পদের সাথে মিলে যায়।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৫০। ধারাটি একটু খেয়াল করলেই সহজ একটি চমৎকার প্যাটার্ন দেখতে পাবেন, যেখানে প্রতিটি পদ হলো তার অবস্থানের বর্গের দ্বিগুণ ($2 \times n^2$):

• ১ম পদ: $2 \times 1^2 = 2$
• ২য় পদ: $2 \times 2^2 = 8$
• ৩য় পদ: $2 \times 3^2 = 18$
• ৪র্থ পদ: $2 \times 4^2 = 32$

তাহলে একইভাবে ধারাটির পরবর্তী বা ৫ম পদটি হবে: $2 \times 5^2 = 2 \times 25 = 50$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 44। এই ধারার পরপর দুটি পদের পার্থক্য খেয়াল করলে নিয়মটা খুব সহজেই বোঝা যায়:

• $4 - 2 = 2$
• $8 - 4 = 4$
• $14 - 8 = 6$
• $22 - 14 = 8$
• $32 - 22 = 10$

প্রতিটি ধাপে পার্থক্য $2$ করে বাড়ছে ($2, 4, 6, 8, 10$)। সেই হিসেবে পরবর্তী পার্থক্যটি হবে $12$।

অতএব, ধারার পরবর্তী সংখ্যাটি হবে: $32 + 12 = 44$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৪১। ধারাটির পরপর দুটি সংখ্যার পার্থক্য লক্ষ্য করলেই সহজ নিয়মটি বোঝা যায়:

• $11 - 5 = 6$
• $19 - 11 = 8$
• $29 - 19 = 10$

দেখা যাচ্ছে, প্রতিবার পার্থক্য ২ করে বাড়ছে ($6, 8, 10, \dots$)। সেই হিসেবে পরবর্তী পার্থক্যটি হবে $10 + 2 = 12$।

সুতরাং, ধারার পরের সংখ্যাটি হবে $29 + 12 =$ $41$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 32। ধারাটির পরপর দুটি পদের পার্থক্য খেয়াল করলেই প্যাটার্নটি খুব সহজে বোঝা যায়:

• প্রথম ও দ্বিতীয় পদের পার্থক্য: $5 - 0 = 5$
• দ্বিতীয় ও তৃতীয় পদের পার্থক্য: $12 - 5 = 7$
• তৃতীয় ও চতুর্থ পদের পার্থক্য: $21 - 12 = 9$

পার্থক্যগুলো লক্ষ্য করলে দেখা যায়, প্রতিটি ধাপে বিজোড় সংখ্যা বা $2$ করে বৃদ্ধি পাচ্ছে ($5, 7, 9, \dots$)।

তাহলে পরবর্তী পার্থক্যটি হবে $11$।

সুতরাং, ? চিহ্নিত স্থানের সংখ্যাটি হবে: $21 + 11 = \mathbf{32}$। (এবং এর পরের পদটি $32 + 13 = 45$, যা ধারার সাথে নিখুঁতভাবে মিলে যায়)।