গণিত

এখানে সঠিক উত্তর হলো 73। একটু খেয়াল করলেই দেখা যাবে, ধারাটির দুটি সংখ্যার পার্থক্য প্রতিবার দ্বিগুণ করে বাড়ছে:

• প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার পার্থক্য: $17 - 13 = 4$
• দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার পার্থক্য: $25 - 17 = 8$
• তৃতীয় ও চতুর্থ সংখ্যার পার্থক্য: $41 - 25 = 16$

একই নিয়মে, চতুর্থ ও পরবর্তী সংখ্যার পার্থক্য হবে $16 \times 2 = 32$। সুতরাং, ধারাটির পরবর্তী সংখ্যাটি হলো $41 + 32 = 73$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 45। ধারাটি ভালোভাবে খেয়াল করলে দেখা যাবে, একটি পদ থেকে তার পরের পদের পার্থক্য ১ করে কমছে:

• প্রথম সংখ্যা $52$ থেকে $7$ বিয়োগ করলে হয়: $52 - 7 = 45$
• পরের সংখ্যাটি পেতে $6$ বিয়োগ করা হয়েছে: $45 - 6 = 39$
• শেষের সংখ্যাটি পেতে $5$ বিয়োগ করা হয়েছে: $39 - 5 = 34$

তাহলে বিয়োগফলের ধারাবাহিকতা হলো: $-7, -6, -5$। তাই নিয়ম অনুযায়ী শূন্যস্থানে সংখ্যাটি হবে 45।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 35। সংখ্যাগুলোর মধ্যবর্তী পার্থক্য খেয়াল করলেই প্যাটার্নটি সহজ মনে হবে:

• প্রথম ও দ্বিতীয় পদের পার্থক্য: $7 - 5 = 2$
• দ্বিতীয় ও তৃতীয় পদের পার্থক্য: $11 - 7 = 4$
• তৃতীয় ও চতুর্থ পদের পার্থক্য: $19 - 11 = 8$

দেখা যাচ্ছে, প্রতিটি পার্থক্য তার আগের পার্থক্যের দ্বিগুণ ($2, 4, 8...$) হয়ে বাড়ছে। তাহলে পরবর্তী পার্থক্যটি হবে $8 \times 2 = 16$।

সুতরাং, শূন্যস্থানের সংখ্যাটি হবে $19 + 16 = 35$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 34। ধারাটির পদগুলোর পার্থক্য খেয়াল করলেই নিয়মটি একদম পরিষ্কার হয়ে যাবে:

• $6 - 4 = 2$
• $10 - 6 = 4$
• $18 - 10 = 8$

প্রতিটি পার্থক্য তার আগের পার্থক্যের দ্বিগুণ হচ্ছে। অর্থাৎ পার্থক্যের ধারাটি হলো: $2, 4, 8...$

তাহলে পরবর্তী পার্থক্যটি হবে $8 \times 2 = 16$।

সুতরাং, ক্রমটির পরবর্তী পদটি হবে $18 + 16 = 34$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 25। ধারাটির সংখ্যাগুলোর মধ্যবর্তী পার্থক্য লক্ষ্য করলে প্যাটার্নটি খুব সহজে ধরা যায়:

• $7 - 5 = 2$
• $10 - 7 = 3$
• $14 - 10 = 4$
• $19 - 14 = 5$

দেখাই যাচ্ছে, প্রতিবারে পার্থক্য $1$ করে বাড়ছে (যেমন: $+2, +3, +4, +5$)। নিয়ম অনুযায়ী পরের পার্থক্যটি হবে $+6$।

সুতরাং, ১৯-এর সাথে $6$ যোগ করলে পরবর্তী সংখ্যাটি পাওয়া যাবে: $19 + 6 =$ 25।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 112। এই সংখ্যা ধারাটিতে প্রতিটি পদের সাথে 16 যোগ করে পরবর্তী পদ তৈরি করা হয়েছে।

• ধারাটির প্রথম দুটি সংখ্যার পার্থক্য: $96 - 80 = 16$
• একই নিয়মে লুপ্ত সংখ্যাটি হবে: $96 + 16 = 112$
• লজিক যাচাইয়ের জন্য পরবর্তী পদ: $112 + 16 = 128$

তাই ফাঁকা স্থানে সঠিক সংখ্যাটি বসবে 112।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option D: 15। একটু খেয়াল করলে দেখিবেন, এই ধারাটিতে দুটি আলাদা বিকল্প সংখ্যাশ্রেণি (alternate series) একসাথে কাজ করছে:

• বিজোড় অবস্থানের পদসমূহ: $3, 4, 5, 6, \dots$ (এখানে প্রতিটি পদে $1$ করে বাড়ছে)।
• জোড় অবস্থানের পদসমূহ: $6, 9, 12, \dots$ (এখানে প্রতিটি পদে $3$ করে বাড়ছে)।

যেহেতু আমাদের ৮ম পদটি (জোড় অবস্থান) নির্ণয় করতে হবে, তাই জোড় পদের ধারানুসারে $12$-এর পরবর্তী সংখ্যাটি হবে $12 + 3 = 15$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 27। একটু খেয়াল করলেই দেখবে, এটি দুটি আলাদা ধারার মিশ্রণ (Alternate Series):

• ১ম, ৩য় ও ৫ম পদ: $4, 8, 12,...$ (এখানে প্রতি পদে $4$ করে বাড়ছে)
• ২য়, ৪র্থ ও ৬ষ্ঠ পদ: $11, 19,...$ (এখানে প্রতি পদে $8$ করে বাড়ছে)

সুতরাং, আমাদের অজানা ৬ষ্ঠ পদটি হবে: $19 + 8 = 27$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 28। একটু খেয়াল করলেই দেখা যাবে, এটি আসলে দুটি ভিন্ন ধারার সমন্বয়ে তৈরি একটি মিশ্র বা অল্টারনেটিং ধারা:

• প্রথম ধারা (১ম, ৩য়, ৫ম, ৭ম... পদ): $7, 14, 21, \dots$ (প্রতিবার $7$ করে বাড়ছে)।
• দ্বিতীয় ধারা (২য়, ৪র্থ, ৬ষ্ঠ... পদ): $10, 16, 22, \dots$ (প্রতিবার $6$ করে বাড়ছে)।

আমাদের কাঙ্ক্ষিত পরবর্তী পদটি হলো ধারার ৭ম পদ, যা প্রথম ধারার নিয়ম অনুসরণ করবে। তাই পরবর্তী পদটি হবে $21 + 7 = 28$।

এখানে পরপর দুটি আলাদা ধারা একসাথে রয়েছে। সহজ ট্রিকটি হলো জোড় ও বিজোড় স্থানের সংখ্যাগুলোকে আলাদা করে দেখা:

• বিজোড় স্থানের ধারা: $27, 25, 23, 21, \dots$ (এখানে প্রতি পদে $2$ করে কমছে)। সুতরাং, ২১-এর পর পরবর্তী বিজোড় পদটি হবে $21 - 2 = 19$।
• জোড় স্থানের ধারা: $5, 8, 11, \dots$ (এখানে প্রতি পদে $3$ করে বাড়ছে)। সুতরাং, ১১-এর পরের জোড় পদটি হবে $11 + 3 = 14$।

সুতরাং, সারির পরবর্তী সংখ্যা দুটি হবে ১৪ এবং ১৯ (১৪, ১৯)।