গণিত

এখানে সঠিক উত্তর হলো 428। ধারাটির প্যাটার্নটি খুব সহজ—প্রতিটি পদ পাওয়া যাচ্ছে তার আগের পদকে 3 দিয়ে গুণ করে ক্রমান্বয়ে 1, 2, 3, 4 বিয়োগ করে:

• $6 \times 3 - 1 = 17$
• $17 \times 3 - 2 = 49$
• $49 \times 3 - 3 = 144$
• একই নিয়মে পরবর্তী পদটি হবে: $144 \times 3 - 4 = 428$

সুতরাং, ধারাটির পরবর্তী সংখ্যাটি হলো 428।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 17, K। ধারাটিকে লক্ষ করলে খুব সহজ একটি প্যাটার্ন দেখা যায়:

• প্রথম সংখ্যা: প্রতিটি গ্রুপের প্রথম সংখ্যাটি $6$ করে বাড়ছে ($5 + 6 = 11$ এবং $11 + 6 = 17$)। তাই প্রথম ফাঁকা জায়গায় বসবে 17।
• সংখ্যার সম্পর্ক: একই গ্রুপের দুটি সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য $3$ করে ($5 - 3 = 2$, $11 - 3 = 8$, এবং $17 - 3 = 14$)।
• অক্ষরের প্যাটার্ন: প্রতিটি গ্রুপের শেষ অক্ষরটি প্রথম অক্ষরের $2$ ঘর পর আসছে ($A \to C$, $E \to G$, এবং $I \to K$)। তাই শেষ ফাঁকা জায়গায় বসবে K।

সুতরাং, ফাঁকা স্থানে সঠিক উপাদান দুটি হবে 17, K।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option D: 22L। লজিকটি খেয়াল করলে খুব সহজেই সমাধান করা যায়:

• সংখ্যার প্যাটার্ন: সংখ্যাগুলো যথাক্রমে $+2, +4, +6$ করে বাড়ছে ($2 \to 4 \to 8 \to 14$)। সেই অনুযায়ী পরবর্তী সংখ্যাটি হবে $14 + 8 = 22$।
• বর্ণের প্যাটার্ন: ইংরেজি অক্ষরগুলোর অবস্থান ক্রমান্বয়ে $+1, +2, +3$ করে এগোচ্ছে ($B \to C \to E \to H$)। তাহলে $H$ (৮ম বর্ণ)-এর সাথে $4$ যোগ করলে পাবো ১২-তম বর্ণ, যা হলো $L$।

অতএব, সংখ্যা ও বর্ণ মিলিয়ে প্রশ্নবোধক স্থানে বসবে $22L$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option B: 55। কারণ ধারাটি লক্ষ্য করলে দেখা যায়, এটি ১ম থেকে $n$-তম স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফলের প্যাটার্ন মেনে চলছে:

• ১ম পদ = $1$
• ২য় পদ = $1 + 2 = 3$
• ৩য় পদ = $1 + 2 + 3 = 6$

এভাবে যেকোনো $n$-তম পদ নির্ণয়ের সহজ শর্টকাট সূত্র হলো: $\frac{n(n + 1)}{2}$

অতএব, ধারাটির ১০ম পদ হবে:

এখানে সঠিক উত্তর হলো $\frac{x(x + 1)(2x + 1)}{6}$। কারণ এটি প্রথম $x$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের যোগফল নির্ণয়ের সুনির্দিষ্ট সূত্র।

বিষয়টি সহজে বোঝার জন্য একটি উদাহরণ দেখে নেওয়া যাক:

• যদি $x = 3$ হয়, তবে ধারাটি দাঁড়ায়: $1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14$
• এখন সূত্রের সাহায্যে মান বসালে পাই: $\frac{3(3 + 1)(2 \times 3 + 1)}{6} = \frac{3 \times 4 \times 7}{6} = 14$

দেখতেই পাচ্ছো, মূল যোগফল এবং সূত্রের ফলাফল হুবহু একই! তাই প্রথম $x$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টির জন্য সরাসরি $\frac{x(x + 1)(2x + 1)}{6}$ সূত্রটি ব্যবহার করা হয়।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 42। এটি একটি সমান্তর ধারা, যার প্রথম পদ $a = 29$, সাধারণ অন্তর $d = 25 - 29 = -4$ এবং শেষ পদ $l = -23$।

সহজ দুটি ধাপে সমষ্টি বের করা যায়:

• পদসংখ্যা ($n$) নির্ণয়:
  $n = \frac{l - a}{d} + 1 = \frac{-23 - 29}{-4} + 1 = \frac{-52}{-4} + 1 = 13 + 1 = 14$
• সমষ্টি ($S$) নির্ণয়:
  $S = \frac{n}{2}(a + l) = \frac{14}{2}(29 + (-23)) = 7 \times 6 = 42$

সুতরাং, প্রদত্ত ধারাটির যোগফল হলো 42।

প্রথম $n$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল নির্ণয়ের মূল সূত্রটি হলো $\frac{n(n + 1)}{2}$।

বিষয়টা খুব সহজে বোঝার জন্য একটি ছোট উদাহরণ দেওয়া যাক:

• ধরুন, $1$ থেকে $4$ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল বের করতে হবে: $1 + 2 + 3 + 4 = 10$।
• এখন সূত্রে $n = 4$ বসিয়ে পাই: $$\frac{4(4 + 1)}{2} = \frac{4 \times 5}{2} = 10$$

দেখলেন তো? কত সহজেই মিলে গেল! তাই যেকোনো $1$ থেকে $n$ পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি বের করতে সরাসরি $\frac{n(n + 1)}{2}$ সূত্রটিই ব্যবহার করা হয়।

এখানে সঠিক উত্তর হলো -1। বিষয়টা খুব সহজভাবে বুঝে নেওয়া যাক:

• যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যা $n$-এর জন্য $(2n + 1)$ রাশিটি সর্বদা একটি বিজোড় সংখ্যা নির্দেশ করে।
• ধারাটির বিজোড় সংখ্যক পদ পর্যন্ত সমষ্টি হিসাব করলে যোগফল দাঁড়ায় $-1$।
• সুতরাং, ধারাটির $(2n + 1)$ সংখ্যক পদের নির্ণেয় সমষ্টি হবে $-1$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 100। সমান্তর ধারার পদসংখ্যা বের করার বিষয়টি খুবই সহজ!

ধারাটির প্রথম পদ $a = 5$ এবং সাধারণ অন্তর $d = 8 - 5 = 3$।

ধরি, $n$-তম পদ $= 302$।

আমরা জানি, $n$-তম পদের সূত্র অনুযায়ী:

অর্থাৎ, ধারাটির 100-তম পদ হলো 302।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $\frac{n}{\sqrt{2} - 1}$। হিসাবটা একদম সহজ:

• প্রাথমিক ক্ষেত্রফল $\pi r^2$ এবং ব্যাসার্ধ বৃদ্ধির পর ক্ষেত্রফল $\pi (r + n)^2$।
• প্রশ্নানুসারে, ক্ষেত্রফল দ্বিগুণ হয়: $\pi (r + n)^2 = 2 \pi r^2$
• উভয় পাশ থেকে $\pi$ কেটে দিলে থাকে: $(r + n)^2 = 2r^2$
• বর্গমূল করলে পাই: $r + n = \sqrt{2}r$
• পক্ষান্তর করে পাই: $\sqrt{2}r - r = n \implies r(\sqrt{2} - 1) = n$

অতএব, $r = \frac{n}{\sqrt{2} - 1}$।