একটি চাকা প্রতি মিনিটে ৯০ বার ঘোরে। এক সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘোরে?
এখানে সঠিক উত্তর হলো ৫৪০°। গাণিতিক হিসাবটি খুবই সহজ:
একটি চাকা একবার সম্পূর্ণ ঘুরলে $360^\circ$ কোণ তৈরি হয়।
- ১ মিনিট বা $60$ সেকেন্ডে ঘোরে: $90 \times 360^\circ$
- অতএব, $1$ সেকেন্ডে ঘোরে: $\frac{90 \times 360^\circ}{60} = 540^\circ$
অর্থাৎ, চাকাটি এক সেকেন্ডে মোট ৫৪০° ঘুরবে।
নিচের কোনটি বৃত্তের সমীকরণ?
এখানে সঠিক উত্তর হলো $x^2 + y^2 = 16$।
কারণটা খুবই সহজ! মূলবিন্দু $(0,0)$ কেন্দ্র এবং $r$ ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের প্রমিত সমীকরণ হলো:
$$x^2 + y^2 = r^2$$
এখন, সমীকরণটিকে এভাবে লেখা যায়:
$$x^2 + y^2 = 4^2$$
যেহেতু এখানে $x^2$ ও $y^2$ উভয়ের সহগ সমান এবং $xy$ সম্বলিত কোনো পদ নেই, তাই এটি সরাসরি একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্দেশ করে (যার কেন্দ্র $(0,0)$ এবং ব্যাসার্ধ $4$ একক)।
বৃত্তের কেন্দ্র ছেদকারী জ্যাকে কি বলে?
এখানে সঠিক উত্তর হলো ব্যাস।
বৃত্তের পরিধির যেকোনো দুটি বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখাকে জ্যা বলা হয়। এই জ্যাটি যখন বৃত্তের একদম কেন্দ্র ছেদ করে বা কেন্দ্র দিয়ে গমন করে, তখন তাকে বৃত্তের ব্যাস বলে। সহজ কথায়, কেন্দ্রগামী যেকোনো জ্যা-ই হলো বৃত্তের ব্যাস এবং এটিই বৃত্তের সবচেয়ে বড় জ্যা।
(x - 4)2 + (y + 3)2 = 100 বৃত্তের কেন্দ্রীয় স্থানাংক কত?
এখানে সঠিক উত্তর হলো $(4, -3)$।
আমরা জানি, কেন্দ্র $(h, k)$ এবং ব্যাসার্ধ $r$ বিশিষ্ট বৃত্তের প্রমিত সমীকরণ হলো:
$$ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 $$প্রদত্ত সমীকরণটিকে প্রমিত আকারে সাজিয়ে পাই:
$$ (x - 4)^2 + (y - (-3))^2 = 10^2 $$এখন প্রমিত সমীকরণের সাথে তুলনা করলেই সহজে বোঝা যায়:
- $x$-এর মান থেকে বাদ যাওয়া অংশ, $h = 4$
- $y$-এর মান থেকে বাদ যাওয়া অংশ, $k = -3$
অতএব, বৃত্তটির কেন্দ্রীয় স্থানাংক হলো $(4, -3)$।
একই সরলরেখায় অবস্থিত তিনটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে কয়টি বৃত্ত আঁকা যাবে?
এখানে সঠিক উত্তর হলো একটিও নয়।
বিষয়টি খুব সহজ:
- একটি নির্দিষ্ট বৃত্ত আঁকার জন্য অন্তত ৩টি অসমরেখ বিন্দু (যে বিন্দুগুলো একই সরলরেখায় নেই) প্রয়োজন হয়।
- বিন্দু তিনটি যদি একই সরলরেখায় থাকে, তবে এমন কোনো কেন্দ্র পাওয়া সম্ভব নয় যা থেকে ৩টি বিন্দুর দূরত্ব সমান হবে। ফলে যেকোনো দুটি বিন্দু দিয়ে বৃত্ত আঁকা গেলেও তৃতীয় বিন্দুটি বাদ পড়ে যায়।
তাই একই সরলরেখায় অবস্থিত ৩টি বিন্দুর মধ্য দিয়ে আঁকা সম্ভব এমন বৃত্তের সংখ্যা হলো $0$ টি।
দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে কয়টি বৃত্ত আঁকা যায়?
এখানে সঠিক উত্তর হলো ৩টি। বিষয়টি খুব সহজে বুঝে নেওয়া যাক:
- দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুকে যুক্ত করলে যে রেখাংশ পাওয়া যায়, তার লম্বদ্বিখণ্ডক (perpendicular bisector)-কে অক্ষ ধরে বৃত্তের কেন্দ্র নির্ধারণ করা হয়।
- নির্দিষ্ট শর্ত বা পরিমাপের ওপর ভিত্তি করে এই দুই বিন্দুকে স্পর্শ করে সর্বোচ্চ ৩টি সুনির্দিষ্ট বৃত্ত আঁকা সম্ভব।
সুতরাং, দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে ৩টি বৃত্ত আঁকা যায়।
একটি বৃত্তের যেকোন দুটি বিন্দুর সংযোজক রেখাকে বলে?
এখানে সঠিক উত্তর হলো জ্যা।
বিষয়টি বোঝা খুবই সহজ:
- বৃত্তের পরিধির ওপর যেকোনো দুটি বিন্দুকে একটি সরলরেখা দিয়ে যুক্ত করলে যে রেখাংশটি পাওয়া যায়, তাকেই জ্যা (Chord) বলা হয়।
- বৃত্তের যেকোনো দুটি বিন্দুর মধ্যে সংযোগ স্থাপনকারী রেখাই হলো জ্যা।
বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত কত?
এখানে সঠিক উত্তর হলো $\frac{22}{7}$। বিষয়টাকে খুব সহজেই একটা সূত্রের মাধ্যমে বুঝে নেওয়া যায়:
- আমরা জানি, বৃত্তের পরিধি = $2\pi r$ এবং ব্যাস = $2r$ (এখানে $r$ হলো ব্যাসার্ধ)।
- তাহলে পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত দাঁড়ায়: $\frac{2\pi r}{2r} = \pi$
- আর $\pi$ (পাই)-এর সাধারণ ভগ্নাংশ মান হলো $\frac{22}{7}$।
সুতরাং, যেকোনো বৃত্তের পরিধিকে তার ব্যাস দিয়ে ভাগ করলে এই অনুপাত সবসময় $\frac{22}{7}$ পাওয়া যায়।
বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত/
এখানে সঠিক উত্তর হলো Option B: 3.14। যেকোনো ছোট বা বড় বৃত্তের পরিধিকে তার ব্যাস দিয়ে ভাগ করলে সবসময় একটি ধ্রুবক মান পাওয়া যায়, যাকে আমরা পাই ($\pi$) বলি।
সহজ হিসাবটি নিচে দেওয়া হলো:
- বৃত্তের পরিধি = $2\pi r$
- বৃত্তের ব্যাস = $2r$
- অনুপাত = $\frac{2\pi r}{2r} = \pi \approx 3.14$
গাণিতিকভাবে $\pi$-এর মান ধরা হয় প্রায় $3.14$ (বা $\frac{22}{7}$), যা বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের স্থায়ী অনুপাত।
π এর মান--
এখানে সঠিক উত্তর হলো 3.14।
গণিতে $\pi$ (পাই) বলতে বোঝায় যেকোনো বৃত্তের পরিধি এবং তার ব্যাসের অনুপাত। $\pi$ একটি অমূলদ সংখ্যা যার মান অসীম, তবে সাধারণ গাণিতিক হিসাব-নিকাশের সুবিধার্থে আমরা এর মান $3.14$ (বা ভগ্নাংশে $\frac{22}{7}$) ব্যবহার করে থাকি।