গণিত

এখানে সঠিক উত্তর হলো বৃত্তের কেন্দ্রে। বিষয়টা খুব সহজ:

• বৃত্তের যেকোনো দুটি জ্যা যদি একে অপরকে সমান দুই ভাগে ভাগ (সমদ্বিখণ্ডিত) করে, তবে জ্যা দুটি অবশ্যই বৃত্তের ব্যাস হতে হবে।
• আর আমরা জানি, বৃত্তের সবগুলো ব্যাস সবসময় বৃত্তের কেন্দ্র দিয়েই অতিক্রম করে। ফলে তাদের ছেদবিন্দুটি নিশ্চিতভাবেই বৃত্তের কেন্দ্রে থাকবে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো কেব্দ্রে অবস্থিত হবে। বিষয়টা খুব সহজভাবে বোঝা যাক:

• আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে গমনকারী জ্যা-ই হলো বৃত্তের ব্যাস।
• একটি নির্দিষ্ট বৃত্তের প্রতিটি ব্যাসের দৈর্ঘ্য সবসময় সমান হয়।
• যেহেতু তিনটি জ্যা-এর দৈর্ঘ্যই সমান এবং তারা একটি সাধারণ বিন্দুতে ছেদ করেছে, তাই ওই বিন্দুটি অবশ্যই বৃত্তের কেন্দ্র (এবং জ্যাগুলো হলো বৃত্তের ব্যাস)।

সহজ কথায়, কেন্দ্রই একমাত্র বিন্দু যার মধ্য দিয়ে একাধিক সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা একসাথে অতিক্রম করতে পারে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $PB = PD$। কারণ বিষয়টা জ্যামিতির একটি সহজ নিয়মের ওপর নির্ভর করে।

বৃত্তের উপপাদ্য অনুযায়ী:

• কোনো বৃত্তের দুটি সমান জ্যা (এখানে $AB$ এবং $CD$) যদি বৃত্তের অভ্যন্তরে $P$ বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করে, তবে একটি জ্যা-এর খণ্ডিত অংশদ্বয় অপর জ্যা-এর অনুরূপ খণ্ডিত অংশদ্বয়ের সমান হয়।
• সেই নিয়ম অনুযায়ী, জ্যা দুটির অনুরূপ অংশগুলো পরস্পর সমান হবে; অর্থাৎ $PA = PC$ এবং $PB = PD$ হবে।

তাই জ্যা দুটি $P$ বিন্দুতে ছেদ করায় $PB = PD$ সম্পর্কটি সম্পূর্ণ সত্য।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option B: ৯০°।

বৃত্তের জ্যা সংক্রান্ত একটি সহজ নিয়ম মনে রাখলেই এটি সহজে বুঝে নেওয়া যায়:

• বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস নয় এমন কোনো জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ওই জ্যা-এর ওপর লম্ব হয়।
• এখানে $O$ হলো কেন্দ্র এবং $D$ হলো $AB$ জ্যা-এর মধ্যবিন্দু। তাই $OD$ রেখাংশ $AB$-এর ওপর লম্ব, অর্থাৎ $OD \perp AB$।
• আর কোনো রেখাংশ অন্য রেখার ওপর লম্ব হলে তাদের উৎপন্ন কোণ হয় সমকোণ বা $90^\circ$। তাই $\angle ODB = 90^\circ$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১৬ সে.মি.। সমকোণী ত্রিভুজের পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে খুব সহজেই এটি বের করা যায়:

• ধরি, অর্ধ-জ্যা-এর দৈর্ঘ্য $x$ সে.মি.।
• তাহলে কেন্দ্র থেকে লম্বের দৈর্ঘ্য $(x - 2)$ সে.মি. এবং ব্যাসার্ধ $r = 10$ সে.মি.।
• পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে: $$(x - 2)^2 + x^2 = 10^2$$ $$x^2 - 4x + 4 + x^2 = 100$$ $$2x^2 - 4x - 96 = 0$$ $$x^2 - 2x - 48 = 0 \implies (x - 8)(x + 6) = 0$$
• দৈর্ঘ্য সবসময় ধনাত্মক হয়, তাই অর্ধ-জ্যা $x = 8$ সে.মি.।
• অতএব, সম্পূর্ণ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য $= 2 \times 8 =$ ১৬ সে.মি.।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ২৪ সে.মি.। বিষয়টাও খুব সহজ!

বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা-কে সমান দুই ভাগে ভাগ করে। ফলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি হয়, যেখানে ব্যাসার্ধ হলো অতিভুজ।

• অতিভুজ (ব্যাসার্ধ) = $13$ সে.মি.
• লম্ব (কেন্দ্র থেকে দূরত্ব) = $5$ সে.মি.
• জ্যা-এর অর্ধেক (ভূমি) = $\sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ সে.মি.

যেহেতু $12$ সে.মি. হলো জ্যা-এর অর্ধেক, তাই পুরো জ্যা-এর দৈর্ঘ্য হবে $12 \times 2 =$ ২৪ সে.মি.।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৬ সে.মি.। কারণটা খুবই সহজ!

জ্যামিতির নিয়ম অনুযায়ী, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ছাড়া অন্য যেকোনো জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব ওই জ্যা-কে সমান দুই ভাগে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

• যেহেতু $OD$ লম্ব $AB$-এর ওপর অবস্থিত, তাই $D$ বিন্দুটি $AB$ জ্যা-কে সমান দুই ভাগে ভাগ করেছে।
• সুতরাং, পুরো জ্যা $AB$-এর দৈর্ঘ্য হবে $AD$-এর দ্বিগুণ।
• গাণিতিকভাবে: $AB = 2 \times AD = 2 \times 3 = 6$ সে.মি.।

এখানে সঠিক উত্তর হলো দ্বিগুণ।

জ্যামিতির মৌলিক নিয়ম অনুযায়ী, বৃত্তের একই চাপের ওপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ সর্বদা তার পরিধিস্থ (বা বৃত্তস্থ) কোণের দ্বিগুণ হয়।

বিষয়টি সহজভাবে মনে রাখার উপায়:

• কেন্দ্রস্থ কোণ = $2 \times$ পরিধিস্থ কোণ
• যেমন: পরিধিস্থ কোণ $30^\circ$ হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে $2 \times 30^\circ = 60^\circ$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১৮০°। কারণ বিষয়টা খুব সহজ!

আমরা জানি, বৃত্তের একই চাপের ওপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ সব সময় পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুণ হয়।

• দেওয়া আছে, পরিধিস্থ কোণ $\angle APB = 90^\circ$
• অতএব, কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle AOB = 2 \times \angle APB$
• সুতরাং, $\angle AOB = 2 \times 90^\circ = 180^\circ$

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১টি।

বৃত্তের পরিধির ওপর অবস্থিত যেকোনো নির্দিষ্ট একটি বিন্দুতে কেবল ১টিই স্পর্শক আঁকা সম্ভব। স্পর্শকের মূল নিয়মই হলো, এটি বৃত্তকে না কেটে শুধুমাত্র একটি নির্দিষ্ট স্পর্শবিন্দুতে স্পর্শ করে যাবে। ওই বিন্দু দিয়ে অন্য কোনো রেখা আঁকতে গেলে সেটি বৃত্তকে ছেদ করে ভেতরে ঢুকে যাবে, ফলে তা আর স্পর্শক থাকবে না।