দুটি পরস্পর ছেদী বৃত্তে কয়টি সাধারণ স্পর্শক আঁকা যায়?
এখানে সঠিক উত্তর হলো ২টি।
দুটি বৃত্ত যখন একে অপরকে ছেদ করে, তখন বৃত্ত দুটির ওপর এবং নিচ দিয়ে কেবল ২টি সরল সাধারণ স্পর্শক (Direct Common Tangents) আঁকা সম্ভব।
যেহেতু বৃত্ত দুটি পরস্পরকে ছেদ করেছে, তাই তাদের মাঝখান দিয়ে কোনো তির্যক সাধারণ স্পর্শক আঁকা যায় না। ফলে এক্ষেত্রে মোট সাধারণ স্পর্শকের সংখ্যা হয় ঠিক ২টি।
O- কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB, A বিন্দুতে স্পর্শক। ∠AOB = 60° হলে ∠ABO = কত?
এখানে সঠিক উত্তর হলো ৩০°। কারণ হিসাবটা একদম সহজ:
- বৃত্তের স্পর্শক এবং স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের মধ্যবর্তী কোণ সবসময় সমকোণ বা $90^\circ$ হয়। অর্থাৎ, $\angle OAB = 90^\circ$।
- আবার, যেকোনো ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি সবসময় $180^\circ$।
সুতরাং, $\triangle AOB$ ত্রিভুজ থেকে আমরা পাই:
$$\angle ABO = 180^\circ - (90^\circ + 60^\circ) = 30^\circ$$
বহিঃস্থ O বিন্দু হতে অংকিত ABC বৃত্তে OA এবং OB দুটি স্পর্শক। অতএব--
এখানে সঠিক উত্তর হলো $OA = OB$। কারণ বৃত্ত সংক্রান্ত জ্যামিতির একটি সহজ নিয়ম হলো—বৃত্তের বাইরের যেকোনো বিন্দু থেকে ওই বৃত্তে দুটি স্পর্শক আঁকলে স্পর্শক রেখাংশদ্বয়ের দৈর্ঘ্য সবসময় সমান হয়।
বিষয়টি এভাবে মনে রাখা যায়:
- বহিঃস্থ বিন্দু $O$ থেকে $ABC$ বৃত্তে আঁকা স্পর্শক দুটি হলো $OA$ এবং $OB$।
- যেহেতু একই বিন্দু থেকে স্পর্শক দুটি টানা হয়েছে, তাই এদের দৈর্ঘ্য সমান হবে, অর্থাৎ $OA = OB$।
A ও B কেন্দ্র বিশিষ্ট দুটি বৃত্ত O বিন্দুতে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করেছে। ∠AOB = কত?
এখানে সঠিক উত্তর হলো ১৮০°।
কারণটা বেশ সহজ:
- দুটি বৃত্ত যখন বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে, তখন তাদের কেন্দ্র $A$ ও $B$ এবং স্পর্শবিন্দু $O$ সর্বদা একই সরলরেখায় অবস্থান করে।
- যেহেতু $A$, $O$ এবং $B$ বিন্দু তিনটি সমরেখ (একই রেখায় অবস্থিত), তাই এরা একটি সরলকোণ তৈরি করে।
- আমরা জানি, যেকোনো সরলরেখায় উৎপন্ন সরলকোণের মান সবসময় $180^\circ$ হয়।
সুতরাং, $\angle AOB = 180^\circ$।
পরস্পরকে স্পর্শ করেছে এমন তিনটি বৃত্তের কেন্দ্র P, Q, R এবং PQ = a, QR = b, RP = c, হলে, P কেন্দ্রিক বৃত্তের ব্যাস হবে--
এখানে সঠিক উত্তর হলো $a-b+c$। খুব সহজভাবে হিসাবটি বুঝে নেওয়া যাক:
- ধরি, $P, Q, R$ কেন্দ্রিক বৃত্ত তিনটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে $r_p, r_q$ এবং $r_r$।
- যেহেতু বৃত্তগুলো পরস্পরকে স্পর্শ করেছে, তাই:
$r_p + r_q = a$
$r_q + r_r = b$
$r_r + r_p = c$ - সমীকরণ তিনটি যোগ করলে পাই, $2(r_p + r_q + r_r) = a + b + c$।
- এখন, মাঝের $r_q + r_r = b$ বসিয়ে দিলে পাই:
$2r_p + 2b = a + b + c \implies 2r_p = a - b + c$
যেহেতু $P$ কেন্দ্রিক বৃত্তের ব্যাস হলো $2r_p$, তাই নির্ণেয় ব্যাস হবে $a - b + c$।
বৃত্তস্থঃ চতুর্ভূজের একটি কোণ ৭৫° হলে বিপরীত কোণটি হবে কত?
এখানে সঠিক উত্তর হলো ১০৫°। কারণ বিষয়টাই খুব সহজ—বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের দুটি বিপরীত কোণের যোগফল সর্বদা $180^\circ$ বা সম্পূরক হয়।
- দেওয়া আছে, একটি কোণ = $75^\circ$
- সুতরাং, এর বিপরীত কোণটি হবে = $180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$
বৃত্তস্থঃ চতুর্ভূজের একটি কোণ ৭০° হলে বিপরীত কোণটির পরিমাণ কত?
এখানে সঠিক উত্তর হলো ১১১০°। নিয়মটা একদম সহজ!
আমরা জানি, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের যেকোনো দুটি বিপরীত কোণের যোগফল সব সময় $180^\circ$ হয়।
তাহলে সহজ হিসাবে বিপরীত কোণটি হবে:
- বিপরীত কোণ = $180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$
Which is the largest?/কোনটি বৃহত্তম?
এখানে সঠিক উত্তর হলো Not possible to say। কারণ বিষয়টা একদমই গাণিতিক যুক্তির ওপর নির্ভর করে:
- যেকোনো জ্যামিতিক চিত্রের আকার বা ক্ষেত্রফল নির্ভর করে তার নির্দিষ্ট মান বা পরিমাপের ওপর (যেমন: ব্যাসার্ধ, বাহুর দৈর্ঘ্য, ভূমি বা উচ্চতা)।
- প্রশ্নে কোনো চিত্রেরই কোনো নির্দিষ্ট পরিমাপ বা সংখ্যাগত মান দেওয়া নেই।
- পরিমাপ ছাড়া কেবল চিত্রের নাম দেখে কোনটি বড় বা কোনটি ছোট তা বলা কখনোই সম্ভব নয়।
নির্দিষ্ট কোনো মান উল্লেখ না থাকায় এদের মধ্যে কোনটি বৃহত্তম তা বলা সম্ভব নয়।
একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ১২ বার ঘুরে। চাকাটি পাঁচ সেকেন্ডে কত ডিগ্রী ঘুরে?
এখানে সঠিক উত্তর হলো ৩৬০°। সহজ নিয়মে হিসাবটি করে ফেলা যাক:
- আমরা জানি, $1$ মিনিট বা $60$ সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে $12$ বার।
- তাহলে, $5$ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরবে $= \frac{12 \times 5}{60} = 1$ বার।
- আমরা জানি, একটি চাকা $1$ বার সম্পূর্ণ ঘুরলে $360^\circ$ কোণ তৈরি হয়।
যেহেতু চাকাটি $5$ সেকেন্ডে ঠিক $1$ বার ঘোরে, তাই এটি $360^\circ$ ডিগ্রি ঘুরবে।
একটি বৃত্তাকার পার্কের ব্যাস ৬০ মিটার এবং π = ৩.১৪১৬ হলে পার্কটির পরিধির দৈর্ঘ্য কত মিটার?
বৃত্তাকার যেকোনো ক্ষেত্রের পরিধি বের করার নিয়মটি বেশ সহজ! বৃত্তের পরিধি নির্ণয়ের সূত্রটি হলো $C = \pi \times d$ (যেখানে $d$ হলো বৃত্তের ব্যাস)।
- পার্কের ব্যাস, $d = 60$ মিটার
- $\pi$-এর মান $= 3.1416$
- সুতরাং, পরিধি $= 3.1416 \times 60 = 188.496$ মিটার
অর্থাৎ, পার্কটির পরিধি হবে ১৮৮.৪৯৬ মি।