গণিত

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option B: 9। বিষয়টা একটা সহজ ট্রিক দিয়েই বুঝে নেওয়া যায়!

বৃত্তের ক্ষেত্রফল সবসময় তার ব্যাসের বর্গের ($d^2$) সাথে সরাসরি সমানুপাতিক। অর্থাৎ, ব্যাস যত গুণ বাড়বে, ক্ষেত্রফল বাড়বে তার বর্গ অনুপাতে।

সহজ হিসাব:

• ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = (ব্যাসের বৃদ্ধি)$^2$
• যেহেতু ব্যাস $3$ গুণ বৃদ্ধি করা হয়েছে, তাই ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে $3^2 = 9$ গুণ।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 36%। বিষয়টি খুব সহজেই একটি শর্টকাট নিয়মে সমাধান করা যায়:

• ধরি, বৃত্তের প্রাথমিক ব্যাসার্ধ $10$ একক। সুতরাং, ক্ষেত্রফল হবে $10 \times 10 = 100$ বর্গ এককের সমানুপাতিক।
• ব্যাসার্ধ $20\%$ কমে গেলে নতুন ব্যাসার্ধ হয় $8$ একক।
• তখন নতুন ক্ষেত্রফল হবে $8 \times 8 = 64$ বর্গ এককের সমানুপাতিক।
• সুতরাং, ক্ষেত্রফল মোট কমেছে $(100 - 64)\% = 36\%$।

এছাড়া ক্ষেত্রফল পরিবর্তনের শর্টকাট সূত্র $a + b + \frac{ab}{100}$ ব্যবহার করে পাই: $-20 - 20 + \frac{(-20) \times (-20)}{100} = -36\%$, অর্থাৎ ক্ষেত্রফল 36% হ্রাস পাবে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 125%। শর্টকাট সূত্রের সাহায্যে অংকটি খুব সহজেই একলাইনে সমাধান করা যায়।

আমরা জানি, বৃত্তের ক্ষেত্রফল ব্যাসার্ধের বর্গ বা গুণফলের ($r^2$) ওপর নির্ভর করে। তাই ব্যাসার্ধ 50% বাড়লে ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির শর্টকাট হিসাবটি হলো:

• প্রযোজ্য সূত্র: $a + b + \frac{a \times b}{100}$
• এখানে $a = 50$ এবং $b = 50$
• মান বসিয়ে পাই: $50 + 50 + \frac{50 \times 50}{100} = 100 + 25 = 125\%$

অর্থাৎ, বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৫০% বাড়ালে তার ক্ষেত্রফল মোট 125% বৃদ্ধি পাবে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 125%। বৃত্তের পরিধি ৫০% বাড়ানো মানে তার ব্যাসার্ধও ($r$) ৫০% বেড়ে যাওয়া।

যেহেতু ক্ষেত্রফল ব্যাসার্ধের বর্গের ($r^2$) সাথে পরিবর্তিত হয়, তাই পরপর দুইবার ৫০% বৃদ্ধির শর্টকাট সূত্র দিয়ে অংকটি এক লাইনেই করে ফেলা যায়:

• ধারাবাহিক বৃদ্ধির সূত্র: $x + y + \frac{x \times y}{100}$
• মান বসিয়ে পাই: $50 + 50 + \frac{50 \times 50}{100}$
• = $100 + 25 = 125\%$

সুতরাং, বৃত্তের পরিধি ৫০% বাড়ানো হলে ক্ষেত্রফল মোট 125% বৃদ্ধি পাবে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৯। বিষয়টি খুব সহজ—বৃত্তের ক্ষেত্রফল তার ব্যাসার্ধের বর্গের ($r^2$) ওপর নির্ভর করে।

• ধরি, বাগানের ব্যাসার্ধ = $r$, সুতরাং বাগানের ক্ষেত্রফল = $\pi r^2$
• পুকুরের ব্যাসার্ধ ৩ গুণ হওয়ায়, পুকুরের ব্যাসার্ধ = $3r$
• পুকুরের ক্ষেত্রফল = $\pi (3r)^2 = 9\pi r^2$

সহজ শর্টকাট নিয়ম: বৃত্তের ব্যাসার্ধ $n$ গুণ হলে তার ক্ষেত্রফল $n^2$ গুণ হয়। তাই ব্যাসার্ধ ৩ গুণ হওয়ায় ক্ষেত্রফল হবে $3^2 = 9$ গুণ।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১৬।

বৃত্তের ক্ষেত্রফল তার ব্যাসার্ধের বর্গের ($r^2$) সাথে সমানুপাতিক, অর্থাৎ $A \propto r^2$।

• ধরি, দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r$, তাই এর ক্ষেত্রফল = $\pi r^2$
• প্রথম বৃত্তের ব্যাসার্ধ $4r$ হলে, ক্ষেত্রফল হবে = $\pi (4r)^2 = 16\pi r^2$

সুতরাং, ক্ষেত্রফল সরাসরি $4^2 = 16$ গুণ বৃদ্ধি পাবে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৯ : ৪। টেকনিকটি খুব সহজ!

আমরা জানি, যেকোনো বৃত্তের ক্ষেত্রফল তার ব্যাসার্ধের বর্গের ($r^2$) সমানুপাতিক। তাই ব্যাসার্ধের অনুপাত থেকে সরাসরি ক্ষেত্রফলের অনুপাত পেতে অনুপাতটির বর্গ করে দিলেই হয়।

• ব্যাসার্ধের অনুপাত = $3 : 2$
• অতএব, ক্ষেত্রফলের অনুপাত = $3^2 : 2^2 = 9 : 4$

বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত বের করার নিয়মটি খুবই সহজ! বৃত্তের ব্যাস বা ব্যাসার্ধের অনুপাতকে বর্গ (square) করলেই সরাসরি ক্ষেত্রফলের অনুপাত পাওয়া যায়।

সহজ হিসেবটি দেখে নাও:

• দেওয়া আছে, ব্যাসের অনুপাত = $1 : 3$
• অতএব, ক্ষেত্রফলের অনুপাত = $1^2 : 3^2 = 1 : 9$

তাই এখানে সঠিক উত্তর হলো ১ : ৯।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $6\sqrt{2}\pi$। হিসাবটি খুব সহজ, চলুন ধাপে ধাপে দেখে নিই:

• ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r$। প্রশ্নমতে ক্ষেত্রফল, $\pi r^2 = 18\pi$
• উভয় পাশ থেকে $\pi$ বাদ দিলে পাই, $r^2 = 18$ বা $r = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
• এখন, বৃত্তের পরিসীমা নির্ণয়ের সূত্র হলো $2\pi r$
• ব্যাসার্ধের মান বসিয়ে পাই: $2 \times \pi \times 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\pi$

এখানে সঠিক উত্তর হলো ০.২ ইঞ্চি। পাইপের পুরুত্ব বের করার শর্টকাট নিয়মটি খুবই সহজ!

পাইপের দুই পাশেই দেয়াল বা পুরুত্ব থাকে। তাই বহির্ব্যাস থেকে অন্তর্ব্যাস বিয়োগ করে ২ দিয়ে ভাগ করলেই পাইপের মূল পুরুত্ব পাওয়া যায়।

• বহির্ব্যাস ও অন্তর্ব্যাসের পার্থক্য = $2.5 - 2.1 = 0.4$ ইঞ্চি
• অতএব, পাইপের পুরুত্ব = $\frac{0.4}{2} = 0.2$ ইঞ্চি