গণিত

এখানে সঠিক উত্তর হলো ২০৪π। খুব সহজ কয়েকটি ধাপে হিসাবটি করে ফেলা যায়:

• পুকুরের ব্যাসার্ধ, $r_1 = \frac{100}{2} = 50$ গজ।
• ২ গজ চওড়া পথসহ পুকুরের ব্যাসার্ধ, $r_2 = 50 + 2 = 52$ গজ।
• পথের ক্ষেত্রফল = পথসহ ক্ষেত্রফল − পুকুরের ক্ষেত্রফল = $\pi r_2^2 - \pi r_1^2 = \pi (52^2 - 50^2)$ বর্গগজ।
• এখন $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ সূত্র প্রয়োগ করলে পাই: $\pi (52 + 50)(52 - 50) = \pi \times 102 \times 2 = 204\pi$ বর্গগজ।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৪৯.৬ ফুট। কারণ হিসাবটি অত্যন্ত সহজ:

• ব্যাসার্ধ বের করা: বৃত্তের ব্যাস $56$ ফুট হলে ব্যাসার্ধ $r = \frac{56}{2} = 28$ ফুট।
• ক্ষেত্রফল নির্ণয়: বৃত্তের ক্ষেত্রফল $= \pi r^2 = 3.1416 \times 28^2 \approx 2463.01$ বর্গফুট।

যেহেতু বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফলও এই বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সমান, তাই বর্গক্ষেত্রের যেকোনো এক দিকের বাহুর দৈর্ঘ্য হবে $\sqrt{2463.01} \approx 49.6$ ফুট।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $\frac{\pi r^2}{b}$। বিষয়টিকে সংক্ষেপে এভাবে চিন্তা করা যায়:

• $r$ ব্যাসার্ধের বৃত্তের ক্ষেত্রফল = $\pi r^2$
• $b$ ভূমি ও $h$ উচ্চতার আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $b \times h$

শর্তানুসারে, উভয় ক্ষেত্রফল সমান। অর্থাৎ,

$$b \times h = \pi r^2$$

অতএব, আয়তক্ষেত্রের উচ্চতা:

$$h = \frac{\pi r^2}{b}$$

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১৬.৭৫ সে.মি.। সহজ নিয়মে হিসেবটি সম্পন্ন করা যায়:

• তারের মোট দৈর্ঘ্য = ২০০ সে.মি. ($2$ মিটার)।
• বৃত্তটি বর্গক্ষেত্রের চার কোণ দিয়ে অতিক্রম করায়, বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = বৃত্তের ব্যাস ($2r$)।
• সুতরাং বর্গক্ষেত্রের বাহু, $a = \sqrt{2}r$।
• বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ($4a$) ও বৃত্তের পরিধি ($2\pi r$) যোগ করলে মোট ২০০ সে.মি. হবে: $$4\sqrt{2}r + 2\pi r = 200$$
• বা, $r(2\sqrt{2} + \pi) = 100$
• বা, $r = \frac{100}{2(1.414) + 3.1416} = \frac{100}{5.97} \approx$ ১৬.৭৫ সে.মি.

এখানে সঠিক উত্তর হলো সমান।

বৃত্তের জ্যামিতিক নিয়ম অনুযায়ী, কেন্দ্র থেকে কোনো জ্যা-এর লম্ব দূরত্ব যত বেশি হয়, জ্যা-টি তত ছোট হতে থাকে। তাই কেন্দ্র থেকে একাধিক জ্যা যদি সমান দূরত্বে অবস্থান করে, তবে তাদের নিজেদের দৈর্ঘ্যও পরস্পর সমান হবে।

সহজে মনে রাখার কৌশল:

• কেন্দ্র থেকে দূরত্ব সমান হলেই জ্যা-গুলোর দৈর্ঘ্য সমান।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৪ সেমি। দুটি বৃত্ত যখন পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করে, তখন কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব হয় বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধের বিয়োগফলের সমান।

খুব সহজেই সূত্রটি প্রয়োগ করে সমাধান করা যায়:

• ধরি, কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব $d = 2$ সেমি এবং বড় বৃত্তের ব্যাসার্ধ $R = 6$ সেমি।
• আমরা জানি, অন্তঃস্পর্শের ক্ষেত্রে: $d = R - r$
• মান বসিয়ে পাই, $2 = 6 - r$
• সুতরাং, অপর বৃত্তটির ব্যাসার্ধ $r = 6 - 2 = 4$ সেমি।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $225\pi$। হিসাবটা খুব সহজ, দেখে নেওয়া যাক:

• মাঠের ব্যাস $26$ মিটার, তাই মাঠের ব্যাসার্ধ $r = \frac{26}{2} = 13$ মিটার।
• বাইরের $2$ মিটার চওড়া রাস্তাসহ মোট ব্যাসার্ধ $R = 13 + 2 = 15$ মিটার।
• আমরা জানি, বৃত্তের ক্ষেত্রফল $= \pi R^2$।
• তাহলে, রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল $= \pi \times 15^2 = 225\pi$ বর্গমিটার।

এখানে সঠিক উত্তর হলো আয়তক্ষেত্র। বিষয়টি খুব সহজেই গাণিতিক যুক্তি দিয়ে বোঝা যায়:

• বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের যোগফল সবসময় $180^\circ$ হয়।
• অন্যদিকে, যেকোনো সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান থাকে।
• ফলে, বিপরীত কোণ দুটি সমান এবং তাদের যোগফল $180^\circ$ হওয়ায় প্রতিটি কোণের মান দাঁড়ায় $180^\circ \div 2 = 90^\circ$।

যে সামান্তরিকের প্রতিটি কোণ $90^\circ$ বা সমকোণ, সেটিই একটি আয়তক্ষেত্র। তাই বৃত্তস্থ সামান্তরিক সর্বদাই একটি আয়তক্ষেত্র হয়।

এখানে সঠিক উত্তর হলো দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।

বৃত্তের বাইরে অবস্থিত যেকোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের ওপর সর্বোচ্চ ২টি স্পর্শক আঁকা সম্ভব। সহজভাবে চিন্তা করলে, বহিঃস্থ বিন্দুটি থেকে বৃত্তের দুই পাশ দিয়ে ঠিক দুটি রেখাই বৃত্তটিকে স্পর্শ করে চলে যেতে পারে।

• বহিঃস্থ বিন্দু $P$ থেকে বৃত্তের দুই স্পর্শবিন্দু $A$ ও $B$ হলে, স্পর্শক দুটি হলো $PA$ এবং $PB$।
• জ্যামিতিক নিয়ম অনুযায়ী, এই স্পর্শক দুটির দৈর্ঘ্য সর্বদা সমান হয়, অর্থাৎ $PA = PB$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $\frac{\theta}{360^\circ} \pi r^2$ বর্গ একক।

বিষয়টি খুব সহজেই মনে রাখা যায়:

• একটি পুরো বৃত্ত তার কেন্দ্রে $360^\circ$ কোণ তৈরি করে এবং এর মোট ক্ষেত্রফল হলো $\pi r^2$ বর্গ একক।
• তাহলে, $1^\circ$ কেন্দ্রস্থ কোণের জন্য বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল হবে $\frac{\pi r^2}{360^\circ}$ বর্গ একক।
• সুতরাং, কেন্দ্রে $\theta$ কোণ উৎপন্ন হলে ওই নির্দিষ্ট বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল হবে $\frac{\theta}{360^\circ} \pi r^2$ বর্গ একক।