গণিত

এখানে সঠিক উত্তর হলো দ্বিগুণ।

জ্যামিতির মৌলিক নিয়ম অনুযায়ী, বৃত্তের একই চাপের ওপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুণ হয়ে থাকে।

• সহজ সূত্র: পরিধিস্থ কোণ $x$ হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে $2x$।
• উদাহরণ: পরিধিস্থ কোণ $30^\circ$ হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে $2 \times 30^\circ = 60^\circ$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৫ সেমি। বিষয়টির হিসাব খুব সহজ:

• বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে টানা দুটি স্পর্শকের দৈর্ঘ্য সমান হয়। তাই $AT = BT$।
• যেহেতু $AT + BT = 8$ সেমি, তাই প্রতিটি স্পর্শকের দৈর্ঘ্য $AT = 4$ সেমি।
• আমরা জানি, স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ স্পর্শকের ওপর লম্ব হয়। অর্থাৎ, $\angle OAT = 90^\circ$।
• এখন, সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle OAT$ এ পিথাগোরাসের সূত্র প্রয়োগ করে পাই: $$OT = \sqrt{OA^2 + AT^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ সুতরাং, $OT = 5$ সেমি।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $PB = PC$। কারণ বৃত্তের একটি জ্যামিতিক নিয়ম জানা থাকলে এটি মুহূর্তেই বুঝে নেওয়া যায়!

বৃত্তের উপপাদ্য অনুযায়ী:

• কোনো বৃত্তের দুটি সমান জ্যা (এখানে $AB$ ও $CD$) যদি ভেতরে কোনো বিন্দুতে ($P$) পরস্পরকে ছেদ করে, তবে একটি জ্যার অংশগুলো অপর জ্যার অনুরূপ অংশগুলোর সমান হয়।
• সেই অনুযায়ী, ছেদবিন্দু $P$ থেকে তৈরি হওয়া খণ্ডিতাংশগুলোর মধ্যে ছোট অংশ দুটি পরস্পর সমান হবে, অর্থাৎ $PB = PC$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৬৪০০ বার। হিসাবটা খুবই সহজ:

• প্রথমে কিলোমিটারকে মিটারে প্রকাশ করি: $40$ কিলোমিটার = $40 \times 1000 = 40000$ মিটার।
• চাকাটি একবার ঘুরলে তার পরিধির সমান অর্থাৎ $6.25$ মিটার পথ অতিক্রম করে।
• সুতরাং, মোট ঘূর্ণন সংখ্যা = $\frac{40000}{6.25} = 6400$ বার।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option D: 90°।

জ্যামিতির একটি মৌলিক নিয়ম দিয়ে খুব সহজেই এটি বোঝা যায়:

বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস নয় এমন কোনো জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ওই জ্যা-এর ওপর লম্ব হয়।

• এখানে $O$ হলো বৃত্তের কেন্দ্র এবং $D$ হলো $AB$ জ্যা-এর মধ্যবিন্দু।
• যেহেতু কেন্দ্র ও মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ $OD$, তাই এটি $AB$ জ্যা-এর ওপর লম্ব ($OD \perp AB$)।
• যেহেতু রেখাংশ দুটি পরস্পর লম্ব, তাই উৎপন্ন কোণ $\angle ODB = 90^\circ$ হবে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option D: ৯৫°। কারণ বৃত্তে অন্তর্লিখিত কোনো চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি সবসময় $180^\circ$ হয়।

বিষয়টি হিসাব করা খুবই সহজ:

• আমরা জানি, $\angle A$ এবং $\angle C$ হলো পরস্পরের বিপরীত কোণ। তাই $\angle A + \angle C = 180^\circ$
• প্রশ্নে দেওয়া আছে, $\angle C = 85^\circ$
• সুতরাং, $\angle A = 180^\circ - 85^\circ = 95^\circ$

এখানে সঠিক উত্তর হলো সরলরেখা।

বিষয়টি বোঝার জন্য সহজ জ্যামিতিক যুক্তিটি দেখে নাও:

• দুটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ করলে (বহিঃস্পর্শ বা অন্তঃস্পর্শ যাই হোক না কেন), স্পর্শবিন্দুতে একটি সাধারণ স্পর্শক থাকে।
• বৃত্তের কেন্দ্র থেকে স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ সর্বদা ওই স্পর্শকের ওপর লম্ব হয়।
• যেহেতু উভয় বৃত্তের কেন্দ্র থেকে স্পর্শবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ একই স্পর্শকের ওপর লম্ব, তাই বিন্দু তিনটি সমরেখ হয়। অর্থাৎ কেন্দ্রদ্বয় ও স্পর্শবিন্দু যোগ করলে একটি সরলরেখা পাওয়া যায়।

বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা খুবই সহজ! আমরা জানি, বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সূত্র হলো $\pi r^2$ (যেখানে $r$ হলো বৃত্তের ব্যাসার্ধ)।

সহজ হিসাবটি নিচে দেওয়া হলো:

• এখানে ব্যাসার্ধ, $r = 10$ সে.মি.
• অতএব, ক্ষেত্রফল = $\pi \times 10^2 = 100\pi$ বর্গ সে.মি.

তাই সঠিক উত্তর হলো ১০০$\pi$ বর্গ সে.মি.।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১৪ মিটার। বিষয় হিসাব করা খুব সহজ, একটি মাত্র সূত্রের মাধ্যমে সমাধান করে ফেলা যায়।

আমরা জানি, বৃত্তের পরিধি = $\pi \times d$ (এখানে $d$ হলো বৃত্তের ব্যাস এবং $\pi = \frac{22}{7}$)।

• প্রশ্নমতে, $\pi \times d = 44$
• বা, $\frac{22}{7} \times d = 44$
• সুতরাং, $d = \frac{44 \times 7}{22} = 14$ মিটার।

সহজ ট্রিক: বৃত্তের ব্যাসার্ধ $7$ হলে পরিধি সবসময় $44$ মিটার হয়। আর ব্যাস হলো ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ, অর্থাৎ $7 \times 2 =$ ১৪ মিটার।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১২৮.২৮২ বর্গ সে.মি.। কারণ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা একদম সহজ!

আমরা জানি, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফলের সূত্র হলো: $\frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$

প্রশ্নে দেওয়া মানসমূহ:

• বৃত্তের ব্যাসার্ধ, $r = 14$ সে.মি.
• কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, $\theta = 75^\circ$

এখন সূত্রে মানগুলো বসিয়ে হিসেব করি:

$$\frac{75^\circ}{360^\circ} \times 3.1416 \times 14^2 \approx 128.282$$

অতএব, বৃত্তকলাটির ক্ষেত্রফল ১২৮.২৮২ বর্গ সে.মি.।