গণিত

এখানে সঠিক উত্তর হলো ২৪.৮১৪ সে.মি.। গণিতটি খুব সহজেই নিচের ধাপে সমাধান করা যায়:

• দেওয়া আছে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r = 14$ সে.মি.।
• বৃত্তের ক্ষেত্রফল $= \pi r^2 = 3.1416 \times 14^2 = 3.1416 \times 196 \approx 615.7536$ বর্গ সে.মি.।
• প্রশ্নমতে, বর্গের ক্ষেত্রফল ও বৃত্তের ক্ষেত্রফল সমান। তাই বর্গের ক্ষেত্রফল $= 615.7536$ বর্গ সে.মি.।
• সুতরাং, বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য $= \sqrt{615.7536} \approx 24.814$ সে.মি.।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৭.০০৩ মি.। অংকটির সমাধান খুব সহজ:

ধরি, বৃত্তাকার মাঠের ভিতরের ব্যাসার্ধ $r$ মিটার এবং বাইরের ব্যাসার্ধ $R$ মিটার। তাহলে রাস্তাটির বিস্তার হবে $(R - r)$ মিটার।

• প্রশ্নমতে পরিধির পার্থক্য, $2\pi R - 2\pi r = 44$
• বা, $2\pi (R - r) = 44$
• বা, $R - r = \frac{44}{2\pi}$
• $\pi \approx 3.1416$ মান বসালে পাই, $R - r = \frac{44}{2 \times 3.1416} \approx 7.003$

সুতরাং, রাস্তাটির বিস্তার ৭.০০৩ মিটার (প্রায়)।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১৭৫.৯৩ বর্গমিটার। খুব সহজ একটা নিয়মে হিসেবটি করে ফেলা যায়:

• পার্কের ব্যাসার্ধ, $r = \frac{26}{2} = 13$ মিটার।
• পথসহ বাইরের বৃত্তের ব্যাসার্ধ, $R = 13 + 2 = 15$ মিটার।
• পথের ক্ষেত্রফল $= \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)$

এখন মান বসিয়ে পাই:

$$\pi(15^2 - 13^2) = 3.1416 \times (225 - 169) = 3.1416 \times 56 \approx 175.93$$

অর্থাৎ, পার্কের বাইরের পথের ক্ষেত্রফল হলো ১৭৫.৯৩ বর্গমিটার।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৩৫.০০৭ মি.। কারণ একটি পশু দড়ি দিয়ে বাঁধা থাকলে দড়িটির দৈর্ঘ্যকে ব্যাসার্ধ ($r$) ধরে বৃত্তাকারে ঘাস খেতে পারে। অর্থাৎ, মাঠের ক্ষেত্রফলটি একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল।

সহজ হিসাবটি নিচে দেওয়া হলো:

• বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সূত্র = $\pi r^2$
• প্রশ্নমতে, $\pi r^2 = 3850$
• বা, $r^2 = \frac{3850}{3.1416} \approx 1225.49$
• সুতরাং, $r = \sqrt{1225.49} \approx 35.007$ মিটার।

তাই দড়িটির দৈর্ঘ্য হবে ৩৫.০০৭ মিটার।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ২০.০০৮°। হিসাবটা বেশ সহজ, নিচে সমাধানটি ধাপে ধাপে দেখানো হলো:

আমরা জানি, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফলের সূত্র হলো: $A = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$

• এখানে ক্ষেত্রফল $A = 77$ এবং ব্যাসার্ধ $r = 21$ মিটার।
• সূত্রে মান বসিয়ে পাই: $77 = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times (21)^2$
• বা, $\theta = \frac{77 \times 360^\circ}{\pi \times 441}$
• বা, $\theta = \frac{27720}{3.1416 \times 441} \approx 20.008^\circ$

সুতরাং, বৃত্তকলাটি কেন্দ্রটিতে উৎপন্ন কোণের পরিমাণ হলো ২০.০০৮°।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১৬৪৯.৩৪ বর্গ মি.। রাস্তার ক্ষেত্রফল বের করার জন্য রাস্তাসহ মাঠের মোট ক্ষেত্রফল থেকে শুধু মাঠের ক্ষেত্রফল বিয়োগ করতে হবে।

• মাঠের ব্যাসার্ধ, $r = \frac{100}{2} = 50$ মিটার।
• রাস্তাসহ মাঠের ব্যাসার্ধ, $R = 50 + 5 = 55$ মিটার।
• রাস্তার ক্ষেত্রফল = $\pi (R^2 - r^2)$
• $= 3.1416 \times (55^2 - 50^2)$
• $= 3.1416 \times (3025 - 2500)$
• $= 3.1416 \times 525 \approx 1649.34$ বর্গ মিটার।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১৪.০০৮ সে.মি.। চলুন হিসাবটা খুব সহজে মিলিয়ে নিই:

• ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r$ সে.মি.। তাহলে ব্যাস $2r$ এবং পরিধি $2\pi r$।
• প্রশ্নমতে, পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য: $2\pi r - 2r = 60$
• বা, $2r(\pi - 1) = 60$
• বা, $r(\pi - 1) = 30$
• আমরা জানি, $\pi \approx 3.1416$
• মান বসিয়ে পাই, $r(3.1416 - 1) = 30$ বা $r \times 2.1416 = 30$
• অতএব, ব্যাসার্ধ $r = \frac{30}{2.1416} \approx 14.008$ সে.মি.।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৩২.৯৮৭ সে.মি.। বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য বের করার নিয়মটি খুবই সহজ।

আমরা জানি, বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য $s = \frac{\pi r \theta}{180^\circ}$

• বৃত্তের ব্যাসার্ধ, $r = \frac{126}{2} = 63$ সে.মি.
• উৎপন্ন কোণ, $\theta = 30^\circ$

এখন সূত্রে মানগুলো বসিয়ে পাই:

$$s = \frac{3.1416 \times 63 \times 30}{180} \approx 32.987$$

সুতরাং, নির্ণেয় চাপের দৈর্ঘ্য ৩২.৯৮৭ সে.মি.।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৩১.৫১৩ মিটার। বিষয়টি খুব সহজে ধাপে ধাপে হিসাব করা যায়:

• মাঠের পরিধি নির্ণয়: ঘোড়াটি $1$ মিনিটে যায় $66$ মিটার। সুতরাং $\frac{3}{2}$ মিনিটে অতিক্রান্ত দূরত্ব $= 66 \times \frac{3}{2} = 99$ মিটার। এটিই মূলত বৃত্তাকার মাঠটির পরিধি।
• ব্যাস নির্ণয়: আমরা জানি, বৃত্তের পরিধি $= \pi d$ (যেখানে $d$ হলো ব্যাস)।
• তাহলে ব্যাস, $d = \frac{99}{\pi} \approx \frac{99}{3.1416} \approx \mathbf{31.513}$ মিটার।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $\frac{n}{\sqrt{2} - 1}$। হিসাবটি খুব সহজ:

• ধরি, প্রাথমিক ব্যাসার্ধ $r$ এবং $n$ পরিমাণ বৃদ্ধির পর নতুন ব্যাসার্ধ $(r + n)$।
• প্রশ্নানুসারে, নতুন ক্ষেত্রফল পুরোনো ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ: $$\pi (r + n)^2 = 2 \pi r^2$$
• উভয় পাশ থেকে $\pi$ কেটে দিয়ে বর্গমূল করলে পাই: $$r + n = \sqrt{2} r$$
• এখন $r$-কে একপাশে নিলে পাই: $$n = \sqrt{2} r - r = r(\sqrt{2} - 1)$$
• সুতরাং, ব্যাসার্ধ $$r = \frac{n}{\sqrt{2} - 1}$$