গণিত

এখানে সঠিক উত্তর হলো সমদ্বিখণ্ডিত করে। বৃত্তের জ্যামিতিক ধর্ম অনুযায়ী, কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন অন্য যেকোনো জ্যা-এর ওপর লম্ব আঁকলে তা ওই জ্যা-টিকে সমান দুই ভাগে ভাগ করে দেয়।

সহজ লজিকটি দেখে নেওয়া যাক:

• ধরি, বৃত্তের কেন্দ্র $O$ এবং ব্যাস নয় এমন একটি জ্যা $AB$।
• কেন্দ্র $O$ থেকে $AB$ জ্যা-এর ওপর $OD$ লম্ব আঁকা হলো।
• তাহলে উপপাদ্য অনুসারে সবসময় $AD = DB$ হয়। অর্থাৎ, অঙ্কিত লম্বটি জ্যা-টিকে ঠিক মাঝখান দিয়ে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $r^2$। বিষয়টা খুব সহজ!

একটি অর্ধ-বৃত্তের ভেতরে সবচেয়ে বড় ত্রিভুজ আঁকতে হলে:

• ত্রিভুজের ভূমি হতে হবে অর্ধ-বৃত্তের ব্যাসের সমান, অর্থাৎ $2r$
• ত্রিভুজের সর্বোচ্চ উচ্চতা হতে হবে তার ব্যাসার্ধের সমান, অর্থাৎ $r$

আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times$ ভূমি $\times$ উচ্চতা

অতএব, সর্ববৃহৎ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times 2r \times r = r^2$

এখানে সঠিক উত্তর হলো $\pi a$। খুব সহজে হিসাবটি নিচে দেওয়া হলো:

• বৃত্তের ব্যাস $4a$ হওয়ায় ব্যাসার্ধ, $r = \frac{4a}{2} = 2a$
• সুতরাং, বৃত্তের ক্ষেত্রফল = $\pi r^2 = \pi (2a)^2 = 4\pi a^2$
• ধরি, আয়তক্ষেত্রের উচ্চতা $h$। তাহলে আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $4a \times h$
• প্রশ্নানুসারে, $4a \times h = 4\pi a^2 \implies h = \frac{4\pi a^2}{4a} = \pi a$

অতএব, আয়তক্ষেত্রের উচ্চতা হলো $\pi a$।

এখানে সদৃশ ত্রিভুজের (Similar Triangles) সহজ নিয়ম ব্যবহার করে আমরা খুব দ্রুত উত্তর বের করতে পারি।

বিষয়টি অনুপাতের মাধ্যমে চিন্তা করলে একদম সহজ:

• চিত্রের জ্যামিতিক বিন্যাস অনুযায়ী বড় ও ছোট ত্রিভুজের ভূমির অনুপাত দাঁড়ায় $\frac{15}{5} = 3$ গুণ।
• যেহেতু সদৃশ ত্রিভুজের লম্ব ও ভূমির অনুপাত সমান থাকে, তাই $DE$ এর মান হবে $BC$ এর $3$ গুণ।
• অর্থাৎ, $DE = 6 \times 3 = 18$ ফুট।

তাই এখানে সঠিক উত্তর হলো ১৮ ফুট।

এখানে সঠিক উত্তর হলো চারগুণ। সহজে হিসাবটি বুঝে নেওয়া যাক:

• ধরি, মূল রেখাটির দৈর্ঘ্য $x$ একক। সুতরাং, এই রেখার ওপর আঁকা বর্গের ক্ষেত্রফল হবে $x^2$ বর্গ একক।
• রেখাটির অর্ধেক দৈর্ঘ্য হলো $\frac{x}{2}$ একক। এই অর্ধেক রেখার ওপর আঁকা বর্গের ক্ষেত্রফল হবে $\left(\frac{x}{2}\right)^2 = \frac{x^2}{4}$ বর্গ একক।

সুতরাং, মূল বর্গের ক্ষেত্রফল হলো অর্ধেক রেখার ওপর আঁকা বর্গের ক্ষেত্রফলের $x^2 \div \frac{x^2}{4} = 4$ গুণ বা চারগুণ।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১৬। বিষয়টাও খুব সহজ, হিসাবটা এভাবে চিন্তা করা যায়:

• ধরি, মূল সরলরেখাটির দৈর্ঘ্য $= x$
• সুতরাং, এর উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল $= x^2$
• সরলরেখাটির এক-চতুর্থাংশের দৈর্ঘ্য $= \frac{x}{4}$
• তাহলে, এই অংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল $= \left(\frac{x}{4}\right)^2 = \frac{x^2}{16}$

অতএব, মূল বর্গের ক্ষেত্রফল ($x^2$), এক-চতুর্থাংশ অংশের বর্গের ক্ষেত্রফলের ($\frac{x^2}{16}$) ঠিক ১৬ গুণ।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৮০ মিটার। হিসাবটা খুব সহজ, চলুন ধাপে ধাপে দেখে নেই:

• ধরি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ $x$ মিটার, তাহলে দৈর্ঘ্য হবে $3x$ মিটার।
• প্রশ্নানুসারে, ক্ষেত্রফল = $x \times 3x = 300$ বর্গমিটার।
• বা, $3x^2 = 300 \implies x^2 = 100 \implies x = 10$ মিটার (প্রস্থ)।
• তাহলে দৈর্ঘ্য = $3 \times 10 = 30$ মিটার।
• অতএব, পরিসীমা = $2 \times (30 + 10) = 2 \times 40 = 80$ মিটার।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৯৬ মিটার। গাণিতিক হিসেবটি একদম সহজ:

• ধরি, ঘরটির বিস্তার $x$ মিটার, তাই দৈর্ঘ্য হবে $2x$ মিটার।
• প্রশ্নমতে, ক্ষেত্রফল $2x \times x = 512$
• বা, $2x^2 = 512 \implies x^2 = 256 \implies x = 16$ মিটার।
• অর্থাৎ, বিস্তার $16$ মিটার এবং দৈর্ঘ্য $2 \times 16 = 32$ মিটার।
• সুতরাং, পরিসীমা = $2 \times (32 + 16) = 2 \times 48 = 96$ মিটার।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৫০ মিটার। অংকটি খুব সহজেই সমাধান করা যায়:

• ধরি, প্রস্থ $= x$ মিটার, তাই দৈর্ঘ্য হবে $= 2x$ মিটার।
• আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= \text{দৈর্ঘ্য} \times \text{প্রস্থ} = 2x \times x = 2x^2$ বর্গমিটার।
• প্রশ্নমতে, $2x^2 = 1250$
• বা, $x^2 = \frac{1250}{2} = 625$
• বা, প্রস্থ $x = \sqrt{625} = 25$ মিটার।
• যেহেতু দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ, তাই আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য হলো $25 \times 2 = $ ৫০ মিটার।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 12। রম্বসের ক্ষেত্রফল বের করার নিয়মটি জানা থাকলে এই অংকটি খুব সহজেই সমাধান করা যায়।

আমরা জানি, রম্বসের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times$ (প্রথম কর্ণ $\times$ দ্বিতীয় কর্ণ)

• দেওয়া আছে, প্রথম কর্ণ $d_1 = 4$ সেমি এবং দ্বিতীয় কর্ণ $d_2 = 6$ সেমি।
• তাহলে ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times 4 \times 6 = 12$ বর্গসেমি।