গণিত

এখানে সঠিক উত্তর হলো ২৮ মিটার। দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ দেওয়া থাকলে আয়তাকার চতুর্ভুজের পরিসীমা বের করার নিয়মটি খুবই সহজ।

আমরা জানি, পরিসীমা = $2 \times$ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)

• দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের যোগফল: $8 + 6 = 14$ মিটার
• পরিসীমা: $2 \times 14 = 28$ মিটার

সহজ কথায়, দৈর্ঘ্য আর প্রস্থ যোগ করে $2$ দিয়ে গুণ করলেই কাঙ্ক্ষিত পরিসীমা ২৮ মিটার পাওয়া যায়।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৫০ বর্গগজ। কারণ দুটি দৈর্ঘ্যের একক গুণ করলে সবসময় ক্ষেত্রফল পাওয়া যায় এবং এককটি বর্গএকক হয়ে যায়।

• সংখ্যার গুণফল: $10 \times 5 = 50$
• এককের গুণফল: গজ $\times$ গজ = বর্গগজ

সহজ কথায়, গজকে গজ দিয়ে গুণ করলে উত্তর সাধারণ গজে থাকে না, তা হয়ে যায় বর্গগজ।

এখানে সঠিক উত্তর হলো সামন্তরিক।

সামন্তরিকের মূল বৈশিষ্ট্যই হলো এর বিপরীত বাহুগুলো সবসময় দৈর্ঘ্যে সমান এবং পরস্পর সমান্তরাল হয়।

সহজ গাণিতিক ভাষায়, একটি চতুর্ভুজ $ABCD$-এর ক্ষেত্রে:

• বিপরীত বাহুদ্বয় সমান: $AB = CD$ এবং $AD = BC$
• বিপরীত বাহুদ্বয় সমান্তরাল: $AB \parallel CD$ এবং $AD \parallel BC$

তাই বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল হলে জ্যামিতিক রূপটি একটি সামন্তরিক।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $BO = DO$। জ্যামিতির একটি সহজ নিয়ম মনে রাখলেই এটি চটকরে বুঝে নেওয়া যায়—

• আমরা জানি, সামন্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে, অর্থাৎ প্রতিটি কর্ণ ছেদবিন্দুতে সমান দুই ভাগে ভাগ হয়ে যায়।
• এখানে $AC$ এবং $BD$ কর্ণ দুটি $O$ বিন্দুতে ছেদ করায় $O$ হলো উভয় কর্ণের মধ্যবিন্দু।
• ফলে $BD$ কর্ণটি ভেঙে দুটি সমান অংশ তৈরি করে, অর্থাৎ $BO = DO$ (একইভাবে $AO = CO$)।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৬৫°। কারণ বিষয়টায় কোনো জটিলতা নেই!

আমরা জানি, সামন্তরিকের যেকোনো দুটি সন্নিহিত (পরপর) কোণের যোগফল সবসময় $180^\circ$ (সম্পূরক কোণ) হয়।

তাহলে হিসাবটা একদম সহজ:

• একটি কোণ = $115^\circ$
• অতএব, অপর কোণটি = $180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৮০°। সহজ দুটি ধাপে হিসাবটি করে ফেলা যায়:

• ধাপ ১: আমরা জানি, সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলো সর্বদা সমান হয়। সে হিসেবে, $\angle BCD = \angle BAD = 100^\circ$।
• ধাপ ২: $DC$ বাহুকে $E$ পর্যন্ত বাড়ানোয় $DCE$ একটি সরলরেখা তৈরি করে, যার মোট কোণ $180^\circ$।

সুতরাং, $\angle BCE = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ভূমি $\times$ উচ্চতা।

বিষয়টা খুব সহজ! সামন্তরিকের যেকোনো একটি বাহুকে ভূমি (base) এবং বিপরীত শীর্ষ থেকে ঐ ভূমির ওপর টানা লম্বকে উচ্চতা (height) ধরা হয়।

সামন্তরিকের একপাশের একটি ত্রিভুজ অংশ কেটে অন্য পাশে বসালে এটি হুবহু একটি আয়তক্ষেত্রে পরিণত হয়। তাই আয়তক্ষেত্রের মতোই এর ক্ষেত্রফল বের করার মূল নিয়ম হলো ভূমির সাথে উচ্চতা গুণ করা:

• সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি $\times$ উচ্চতা
• সংকেতে প্রকাশ করলে: $\text{Area} = b \times h$

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১/২ গুণ। কারণটা বোঝা খুবই সহজ!

সামন্তরিকের অভ্যন্তরে যেকোনো বিন্দু $P$ নিলে, বিপরীত দিকের দুটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের যোগফল সবসময় পুরো সামন্তরিকের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক হয়।

• ধরি, সামন্তরিকটির ভূমি $= b$ এবং মোট উচ্চতা $= h$।
• $P$ বিন্দু থেকে বিপরীত দুই ভূমির উচ্চতা যথাক্রমে $h_1$ এবং $h_2$, যেখানে $h_1 + h_2 = h$।
• $\Delta APB$ ও $\Delta PCD$-এর মোট ক্ষেত্রফল:

যেহেতু সামন্তরিকটির মোট ক্ষেত্রফল $= b \times h$, তাই ত্রিভুজ দুটির ক্ষেত্রফলের যোগফল সামন্তরিকের ক্ষেত্রফলের ঠিক ১/২ গুণ বা অর্ধেক।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৮। বিষয়টাই খুব সহজ, ধাপগুলো লক্ষ করুন:

• ধরি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ $x$ মিটার।
• যেহেতু দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ, তাই লম্বা বাহু বা দৈর্ঘ্য হবে $2x$ মিটার।
• ক্ষেত্রফলের সূত্র অনুযায়ী, $2x \times x = 32$
• বা, $2x^2 = 32$
• বা, $x^2 = 16 \implies x = 4$ মিটার (প্রস্থ)।
• সুতরাং, লম্বা বাহুর দৈর্ঘ্য $= 2 \times 4 = 8$ মিটার।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৬০। সহজ কয়েকটি ধাপে অংকটি সমাধান করা যায়:

• ধরি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ $x$ মিটার। ফলে দৈর্ঘ্য হবে $2x$ মিটার।
• প্রশ্নমতে, ক্ষেত্রফল $= 2x \times x = 200$
• বা, $2x^2 = 200 \implies x^2 = 100 \implies x = 10$ মিটার (প্রস্থ)।
• তাহলে দৈর্ঘ্য $= 2 \times 10 = 20$ মিটার।
• আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা $= 2 \times (\text{দৈর্ঘ্য} + \text{প্রস্থ})$ — অর্থাৎ, $2 \times (20 + 10) = 2 \times 30 = 60$ মিটার।