একটি আয়তকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ অপেক্ষা ৩০ মিটার বেশি। আয়তকার ক্ষেত্রটির পরিসীমা ১৪০ মিটার হলে, ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্নয় করুন?
এখানে সঠিক উত্তর হলো ৫০ মিটার ও ২০ মিটার। খুব সহজ একটি শর্টকাটে অংকটি সমাধান করা যায়:
- আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের যোগফল হলো পরিসীমার অর্ধেক, অর্থাৎ $\frac{140}{2} = 70$ মিটার।
- যেহেতু দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের পার্থক্য $30$ মিটার, তাই ছোট বাহুটি অর্থাৎ প্রস্থ হবে: $\frac{70 - 30}{2} = 20$ মিটার।
- তাহলে বড় বাহুটি অর্থাৎ দৈর্ঘ্য হবে: $20 + 30 = 50$ মিটার।
সুতরাং, ক্ষেত্রটির সঠিক দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে ৫০ মিটার ও ২০ মিটার।
একটি আয়তকার জমির ক্ষেত্রফল ২৪ এয়র। দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত ৩ : ২ হলে ঐ জমির পরিসীমার পরিমাপ কত?
এখানে সঠিক উত্তর হলো ২০০ মিটার। হিসাবটা খুব সহজ, কয়েকটি ধাপে দেখে নেওয়া যাক:
- আমরা জানি, ১ এয়র = ১০০ বর্গমিটার। তাই ২৪ এয়র = $24 \times 100 = 2400$ বর্গমিটার।
- দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত $3 : 2$ হওয়ায়, ধরি দৈর্ঘ্য $3x$ মিটার এবং প্রস্থ $2x$ মিটার।
- ক্ষেত্রফলের সূত্র অনুযায়ী, $3x \times 2x = 6x^2$।
প্রশ্নমতে, $6x^2 = 2400 \implies x^2 = 400 \implies x = 20$। - তাহলে, দৈর্ঘ্য = $3 \times 20 = 60$ মিটার এবং প্রস্থ = $2 \times 20 = 40$ মিটার।
- অতএব, নির্ণেয় পরিসীমা = $2 \times (60 + 40) = 2 \times 100 = 200$ মিটার।
How much fence will be needed to enclose a rectangular field that is 600 cm long and 3000 cm wide?/৬০০ সেঃ মিঃ দীর্ঘ এবং ৩০০০ সেঃ মিঃ প্রস্থ বিশিষ্ট একটি আয়তকার জমিকে বেড়া দিয়ে ঘিরে দিতে কত মিটার বেড়া লাগবে?
এখানে সঠিক উত্তর হলো Option A: 72। আয়তকার জমিটিকে বেড়া দিয়ে ঘিরে দেওয়া মানে এর চারপাশের মোট পরিসীমা বের করা।
সহজ ধাপে উত্তরটি বের করার নিয়ম:
- প্রশ্নে উত্তর মিটারে চাওয়া হয়েছে, তাই প্রথমে সেন্টিমিটারকে মিটারে পরিবর্তন করি:
- দৈর্ঘ্য = $600 \div 100 = 6$ মিটার
- প্রস্থ = $3000 \div 100 = 30$ মিটার
- আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = $2 \times (\text{দৈর্ঘ্য} + \text{প্রস্থ})$
অতএব, মোট বেড়া লাগবে = $2 \times (6 + 30) = 2 \times 36 = 72$ মিটার।
সুতরাং, জমিটি ঘিরে দিতে মোট 72 মিটার বেড়া লাগবে।
How much will it cost to fence in a field that is 360 cm long and 160 cm wide with fance that cost Tk.100 a meter?/প্রতি মিটার বেড়ায় খরচ ১০০ টাকা হারে ৩৬০ সেঃ মিঃ দীর্ঘ এবং ১৬০ সেঃ মিঃ প্রস্থ বিশিষ্ট একটি জমিকে বেড়া দিয়ে ঘিরে দিতে কত খরচ পড়বে?
এখানে সঠিক উত্তর হলো 1040 টাকা। হিসাবটা খুবই সহজ:
- প্রথমে সেন্টিমিটারকে মিটারে রূপান্তর করি: দৈর্ঘ্য $= 3.6$ মিটার এবং প্রস্থ $= 1.6$ মিটার।
- জমিটির পরিসীমা $= 2 \times (3.6 + 1.6) = 2 \times 5.2 = 10.4$ মিটার।
- প্রতি মিটারে খরচ $100$ টাকা, তাই মোট খরচ হবে $= 10.4 \times 100 = 1040$ টাকা।
How much will it cost to fance in a field that is 12 feet long and 42 feet wide with fance that cost $10 per yard?/প্রতিগজ বেড়ায় খরচ ১০ ডলার হারে ১২ ফুট দীর্ঘ এবং ৪২ ফুট প্রস্থ বিশিষ্ট একটি জমিকে বেড়া দিয়ে ঘিরে দিতে কত খরচ পরবে?
এখানে সঠিক উত্তর হলো $360। জমিটির চারপাশ বেড়া দিয়ে ঘিরতে হলে প্রথমেই এর মোট পরিসীমা বের করতে হবে:
- জমির পরিসীমা = $2 \times (12 + 42) = 108$ ফুট।
- যেহেতু খরচের হিসাব গজে দেওয়া আছে, তাই ফুটকে গজে রূপান্তর করি ($3$ ফুট = $1$ গজ): $\frac{108}{3} = 36$ গজ।
- প্রতি গজে খরচ $\$10$ হলে, মোট খরচ হবে = $36 \times 10 = \$360$।
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থকে দ্বিগুণ করলে ক্ষেত্রফল মূল আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের--
এখানে সঠিক উত্তর হলো চারগুণ হবে। হিসাবটা খুবই সহজ:
- ধরি, আয়তক্ষেত্রের প্রাথমিক দৈর্ঘ্য $L$ এবং প্রস্থ $W$। সেক্ষেত্রে মূল ক্ষেত্রফল = $L \times W$।
- দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ উভয়কে দ্বিগুণ করলে নতুন দৈর্ঘ্য হয় $2L$ এবং নতুন প্রস্থ হয় $2W$।
- সুতরাং, নতুন ক্ষেত্রফল = $2L \times 2W = 4(L \times W)$।
অর্থাৎ, নতুন ক্ষেত্রফলটি মূল ক্ষেত্রফলের ঠিক ৪ গুণ বা চারগুণ হবে।
একটি আয়তকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ ১০% হ্রাস করলে ক্ষেত্রফলের শতকরা কত পরিবর্তন হবে?
এখানে সঠিক উত্তর হলো ৮% বৃদ্ধি। এই ধরনের অংক খুব সহজে একটি কার্যকর শর্টকাট সূত্রের সাহায্যে সমাধান করা যায়।
ক্ষেত্রফলের শতকরা পরিবর্তনের সূত্রটি হলো: $a + b + \frac{a \times b}{100}$
- দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি, $a = +20$
- প্রস্থ হ্রাস, $b = -10$
এখন সূত্রে মান বসিয়ে পাই:
$$20 - 10 + \frac{20 \times (-10)}{100} = 10 - 2 = 8\%$$ফলাফলটি ধনাত্মক ($+8\%$) আসায় ক্ষেত্রফল ৮% বৃদ্ধি পাবে।
একটি আয়তকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১০% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ ১০% হ্রাস করলে ক্ষেত্রফলের শতকরা কত পরিবর্তন হবে?
এখানে সঠিক উত্তর হলো ১% হ্রাস। এই ধরণের অংক শর্টকাট সূত্রের সাহায্যে খুব সহজেই সমাধান করা যায়।
কোনো আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $x\%$ বৃদ্ধি এবং প্রস্থ $x\%$ হ্রাস পেলে ক্ষেত্রফল সর্বদাই হ্রাস পায়। এই হ্রাসের হার নির্ণয়ের শর্টকাট সূত্রটি হলো:
হ্রাসের হার = $\frac{x^2}{100}\%$
- এখানে, $x = 10$
- সুতরাং, ক্ষেত্রফল হ্রাস = $\frac{10^2}{100}\% = \frac{100}{100}\% = 1\%$
তাই ক্ষেত্রফল মোট ১% হ্রাস পাবে।
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২০% বাড়ালে এবং প্রস্থ ২০% কমালে ক্ষেত্রফল--
এখানে সঠিক উত্তর হলো ৪% কমবে। এই ধরনের প্রশ্ন শর্টকাট সূত্রের সাহায্যে মুহূর্তেই সমাধান করা যায়।
শতকরা পরিবর্তনের সহজ সূত্রটি হলো: $a + b + \frac{a \times b}{100}$
- দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধি পাওয়ায়, $a = +20$
- প্রস্থ ২০% হ্রাস পাওয়ায়, $b = -20$
এখন মান বসিয়ে পাই:
$$20 - 20 + \frac{20 \times (-20)}{100} = 0 - \frac{400}{100} = -4\%$$ফলাফল ঋণাত্মক ($-$) আসায় বোঝা যাচ্ছে ক্ষেত্রফল ৪% কমবে।
একটি আয়তকার মেঝের ক্ষেত্রফল ২৭৩ বর্গমিটার। দৈর্ঘ্য ৫ মিটার বেশি হলে মেঝের ক্ষেত্রফল হত ৩৩৮ বর্গমিটার। ঐ মেঝের প্রস্থ কত?
এখানে সঠিক উত্তর হলো ১৩ মিটার। একটি সহজ ট্রিক ব্যবহার করে খুব দ্রুতই এটি সমাধান করা যায়:
- দৈর্ঘ্য $5$ মিটার বাড়ার কারণে ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায়: $(338 - 273) = 65$ বর্গমিটার।
- যেহেতু মেঝের প্রস্থ অপরিবর্তিত ছিল, তাই এই বাড়তি $65$ বর্গমিটার ক্ষেত্রফল এসেছে কেবল $5$ মিটার দৈর্ঘ্য বাড়ার কারণেই।
- সুতরাং, মেঝের প্রস্থ = $\frac{65}{5} = 13$ মিটার।