গণিত

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option B: $\{3\}$। কারণ বিষয়টা খুবই সহজ!

ইন্টারসেকশন ($\cap$) চিহ্নের কাজ হলো দুটি সেটের মধ্যে কেবল কমন বা সাধারণ উপাদানটিকে খুঁজে নেওয়া।

• দেওয়া আছে, $A = \{-1, 0, 2, 3\}$ এবং $B = \{-3, 3, 4, 5\}$
• এখানে $A$ এবং $B$ দুটি সেটের উপাদানগুলো লক্ষ্য করলে দেখা যায়, কেবল $3$ সংখ্যাটিই উভয় সেটে বিদ্যমান।

সুতরাং, $A \cap B = \{3\}$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $\{2, 4, 6\}$। সেটের অন্তর বা বিয়োগ ($B - A$) বের করার নিয়মটি খুব সহজ—সেট $B$-এর যে উপাদানগুলো $A$-তে নেই, সেগুলোকে নিয়েই গঠিত হবে নতুন সেট।

• আমাদের দেওয়া আছে: $A = \{1, 3, 5\}$ এবং $B = \{2, 4, 6\}$।
• লক্ষ্য করি, $B$ সেটের উপাদানগুলোর ($2, 4, 6$) কোনোটিই $A$ সেটের মধ্যে নেই।
• যেহেতু বাদ দেওয়ার মতো কিছু নেই, তাই $B$ সেট থেকে $A$ বাদ দিলে $B$-এর সবকটি উপাদানই থেকে যাবে।

সুতরাং, $B - A = \{2, 4, 6\}$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option D: $\{1, 3, 5\}$। কারণ বিষয়টাই খুব সহজ!

সেটের বিয়োগ বা Set Difference ($A - B$) বলতে বোঝায় $A$ সেটের যে উপাদানগুলো $B$ সেটে নেই, সেগুলোকে নিয়ে গঠিত সেট।

• এখানে, $A = \{1, 3, 5\}$ এবং $B = \{2, 4, 6\}$।
• দেখা যাচ্ছে, $A$ এবং $B$ সেটের মধ্যে কোনো সাধারণ (common) উপাদান নেই।
• ফলে $A$ সেট থেকে বাদ দেওয়ার মতো কোনো উপাদান $B$ সেটে না থাকায়, $A$ সেটের মান অপরিবর্তিত থাকবে।

সুতরাং, $A - B = \{1, 3, 5\}$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৩২০ টাকা। উভয় ক্ষেত্রে সুদের পরিমাণ সমান হওয়ায় আমরা শর্টকাট সূত্র $P_1 r_1 t_1 = P_2 r_2 t_2$ ব্যবহার করে সহজেই আসল বের করতে পারি।

• প্রথম ক্ষেত্রে: আসল $P_1 = 950$, হার $r_1 = 6\%$, সময় $t_1 = 8$ বছর
• দ্বিতীয় ক্ষেত্রে: হার $r_2 = 7.5\%$, সময় $t_2 = 19$ বছর, আসল $P_2 = ?$

সূত্রে মান বসিয়ে পাই:

$$950 \times 6 \times 8 = P_2 \times 7.5 \times 19$$

$$P_2 = \frac{950 \times 6 \times 8}{7.5 \times 19} = 320$$

অতএব, নির্ণেয় আসলের পরিমাণ ৩২০ টাকা।

সহজ সুদের সূত্র ব্যবহার করে আমরা খুব সহজেই সুদের হার বের করতে পারি।

আমরা জানি, সুদের হার $R = \frac{I \times 100}{P \times n}$

• এখানে, মোট সুদ ($I$) = $85$ টাকা
• আসল ($P$) = $425$ টাকা
• সময় ($n$) = $4$ বছর

এখন সূত্রে মানগুলো বসিয়ে পাই:

$$R = \frac{85 \times 100}{425 \times 4} = \frac{8500}{1700} = 5\%$$

অর্থাৎ, শতকরা বার্ষিক সুদের হার হলো 5%।

এখানে সঠিক উত্তর হলো সুদের হার $\times$ আসল $\times$ সময় / ১০০।

বিষয়টা একদম সহজ! সরল সুদের ক্ষেত্রে কত টাকা সুদ আসবে তা বের করতে হলে আসল, সুদের হার এবং সময়—এই তিনটি উপাদানকে একসাথে গুণ করে ১০০ দিয়ে ভাগ করতে হয়।

গাণিতিক সংকেতে সূত্রটি হলো:

$$I = \frac{P \times r \times t}{100}$$

• $I$ = মোট সুদ (Interest)
• $P$ = আসল টাকা (Principal)
• $r$ = সুদের হার (Rate of interest)
• $t$ = সময় (Time)

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১০ বছরে। হিসাবটি একদম সহজ, চলুন দেখে নেওয়া যাক:

• মোট সুদের পরিমাণ, $I = 800 - 500 = 300$ টাকা।
• এখানে আসল $P = 500$ টাকা এবং সুদের হার $r = 6\%$।
• আমরা জানি, সময় $n = \frac{I \times 100}{P \times r}$
• এখন মান বসিয়ে পাই, $n = \frac{300 \times 100}{500 \times 6} = 10$ বছর।

সুতরাং, ৫০০ টাকা সুদে-আসলে ৮০০ টাকা হতে মোট ১০ বছর সময় লাগবে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 7% (প্রায়)। শর্টকাট নিয়মে হিসাবটি খুব সহজ:

আসল $100$ টাকা ধরলে, $30$ বছরে তা ৩ গুণ হয়ে $300$ টাকা হয়। অর্থাৎ, $30$ বছরের মোট সুদ হলো $(300 - 100) = 200$ টাকা।

এখন, ১ বছরের সুদের হার বা বার্ষিক হার বের করার পদ্ধতি:

• বার্ষিক সুদের হার $= \frac{200}{30}\% = 6.67\%$
• $6.67\%$ এর নিকটতম পূর্ণসংখ্যার মান হলো 7%।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১০০০ টাকা। শর্টকাট পদ্ধতিতে হিসাবটি খুব সহজে করে ফেলা যায়:

• ১ বছরে সুদ $7.5\%$ হলে, ৩ বছরে মোট সুদ হয় $7.5\% \times 3 = 22.5\%$।
• তাহলে, আসল $100\%$ হলে সুদে-আসল মিলে মোট হয় $(100 + 22.5)\% = 122.5\%$।
• প্রশ্নমতে, এই $122.5\% = 1225$ টাকা।

সুতরাং, মূল আসল $(100\%) = \frac{1225 \times 100}{122.5} = 1000$ টাকা।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১০ বছরে। সহজ নিয়মে অংকটি এক লাইনেই করে ফেলা যায়:

• ১ বছরের সুদ: ৮০০ টাকার ৬% হিসেবে ১ বছরে সুদ হয় $800 \times \frac{6}{100} = 48$ টাকা।
• প্রয়োজনীয় সময়: প্রতি বছর ৪৮ টাকা সুদ পেলে, ৪৮০ টাকা সুদ হতে সময় লাগবে $\frac{480}{48} = 10$ বছর।

অর্থাৎ, ১০ বছরে ৮০০ টাকার সরল সুদ ৪৮০ টাকা হবে।