গণিত

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১৬ মিটার। অংকটি সহজে সমাধান করার নিয়মটি দেখে নেওয়া যাক:

• ধরি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $L$ এবং প্রস্থ $W$। প্রশ্নমতে, ক্ষেত্রফল $L \times W = 192$ বর্গমিটার।
• দৈর্ঘ্য ৪ মিটার কমালে এবং প্রস্থ ৪ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল একই থাকে, অর্থাৎ: $$(L - 4)(W + 4) = 192$$
• সমীকরণটি ভেঙে লিখলে পাই:
  $LW + 4(L - W) - 16 = 192$
  যেহেতু $LW = 192$, তাই $4(L - W) = 16 \implies L - W = 4$ (অর্থাৎ দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের পার্থক্য ৪ মিটার)।
• এখন, দৈর্ঘ্য $16$ মিটার হলে প্রস্থ হবে $\frac{192}{16} = 12$ মিটার। দেখুন, এদের পার্থক্য $16 - 12 = 4$ মিটার, যা আমাদের শর্তটি পুরোপুরি পূরণ করে!

এখানে সঠিক উত্তর হলো দৈর্ঘ্য ২৫ মিটার ও প্রস্থ ১২ মিটার। প্রশ্নটির শর্ত ধরে খুব সহজেই সমাধানটি মিলিয়ে নেওয়া যায়:

ধরি, মূল দৈর্ঘ্য $25$ মিটার এবং প্রস্থ $12$ মিটার। তাহলে মূল ক্ষেত্রফল $= 25 \times 12 = 300$ বর্গমিটার।

• প্রথম শর্তে: দৈর্ঘ্য $5$ মিটার কমালে হয় $(25 - 5) = 20$ মিটার এবং প্রস্থ $3$ মিটার বাড়ালে হয় $(12 + 3) = 15$ মিটার। এতে ক্ষেত্রফল হয় $20 \times 15 = 300$ বর্গমিটার (অপরিবর্তিত)।
• দ্বিতীয় শর্তে: দৈর্ঘ্য $5$ মিটার বাড়ালে হয় $(25 + 5) = 30$ মিটার এবং প্রস্থ $2$ মিটার কমালে হয় $(12 - 2) = 10$ মিটার। এতে ক্ষেত্রফল হয় $30 \times 10 = 300$ বর্গমিটার (অপরিবর্তিত)।

যেহেতু উভয় শর্তেই ক্ষেত্রফল $300$ বর্গমিটার থাকে, তাই আয়তক্ষেত্রের সঠিক দৈর্ঘ্য ২৫ মিটার এবং প্রস্থ ১২ মিটার।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১০ ও ৮ মিটার। সূত্র মুখস্থ না রেখেও শর্টকাটে বিষয়টি খুব সহজে বোঝা যায়:

• দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের যোগফল হবে পরিসীমার অর্ধেক, অর্থাৎ $36 \div 2 = 18$ মিটার।
• ক্ষেত্রফল অনুযায়ী দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের গুণফল হতে হবে $80$ বর্গমিটার।
• এখন $10$ এবং $8$ এমন দুটি সংখ্যা, যাদের যোগ করলে হয় $10 + 8 = 18$ মিটার এবং গুণ করলে হয় $10 \times 8 = 80$ বর্গমিটার।

সুতরাং, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ১০ মিটার এবং প্রস্থ ৮ মিটার।

এখানে সঠিক উত্তর হলো দৈর্ঘ্য ৮ মিটার ও প্রস্থ ৬ মিটার। খুব সহজেই মানগুলো বসিয়ে প্রশ্নটির শর্ত যাচাই করে নেওয়া যায়:

• ক্ষেত্রফল: $8 \times 6 = 48$ বর্গমিটার (যা প্রশ্নে দেওয়া ক্ষেত্রফলের সমান)।
• পরিসীমা: $2 \times (8 + 6) = 28$ মিটার।
• কর্ণের দৈর্ঘ্য: $\sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ মিটার। তাহলে দুটি কর্ণের সমষ্টি = $10 + 10 = 20$ মিটার।

এখানে পরিসীমা ($28$ মিটার) কর্ণের সমষ্টি ($20$ মিটার) অপেক্ষা ঠিক $(28 - 20) = 4$ মিটার বেশি, যা প্রশ্নের সব শর্ত পূরণ করে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১২ বর্গমিটার। এটি পিথাগোরাসের নিয়ম ব্যবহার করে খুব সহজেই সমাধান করা যায়:

• আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের দুটি বাহু এবং কর্ণ মিলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে।
• পিথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী অপর বাহুর দৈর্ঘ্য $= \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ মিটার। (সংক্ষেপে $3, 4, 5$ পিথাগোরিয়ান ট্রিপলেট মনে রাখলেও সরাসরি অপর বাহু ৩ মিটার পাওয়া যায়)।
• সুতরাং, আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল $= (4 \times 3) = 12$ বর্গমিটার।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১২ মিটার। খুব সহজে হিসাবটি বুঝে নেওয়া যাক:

• মোট খরচকে প্রতি বর্গমিটারের খরচ দিয়ে ভাগ করলে মেঝের ক্ষেত্রফল পাওয়া যায়, অর্থাৎ ক্ষেত্রফল = $\frac{144}{2} = 72$ বর্গমিটার।
• ধরি, মেঝের প্রস্থ $x$ মিটার, তাই দৈর্ঘ্য হবে $2x$ মিটার।
• প্রশ্নমতে, ক্ষেত্রফল $2x \times x = 72$ বা, $2x^2 = 72$
• বা, $x^2 = 36$ অর্থাৎ প্রস্থ $x = 6$ মিটার।
• যেহেতু দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ, তাই মেঝের দৈর্ঘ্য হবে $2 \times 6 = 12$ মিটার।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৭৫৫৭.৭৫ টাকা। হিসাবটা খুব সহজ, নিচে কয়েকটি ধাপে তা দেখানো হলো:

• বাগানের ক্ষেত্রফল: $90.75 \times 45.50 = 4129.125$ বর্গমিটার।
• প্রতি বর্গমিটারে খরচ: $4.125$ বর্গমিটারে খরচ হয় $7.55$ টাকা, তাই $1$ বর্গমিটারে খরচ $\frac{7.55}{4.125}$ টাকা।
• সর্বমোট খরচ: $4129.125 \times \frac{7.55}{4.125} = 1001 \times 7.55 = 7557.75$ টাকা।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৬০টি। হিসাবটা খুব সহজ, মেঝের মোট ক্ষেত্রফলকে একটি মাদুরের ক্ষেত্রফল দিয়ে ভাগ করলেই উত্তর পাওয়া যাবে:

• মেঝের ক্ষেত্রফল = $15 \times 11 = 165$ বর্গমিটার
• ১টি মাদুরের ক্ষেত্রফল = $2.2 \times 1.25 = 2.75$ বর্গমিটার
• প্রয়োজনীয় মাদুর = $\frac{165}{2.75} = 60$ টি

সুতরাং, পুরো মেঝেটি ঢাকতে মোট ৬০টি মাদুর লাগবে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option D: ৯৭৬ বর্গমিটার। অংকটি খুব সহজেই ধাপে ধাপে সমাধান করা যায়:

• পাড়সহ মোট ক্ষেত্রফল: $70 \times 60 = 4200$ বর্গমিটার।
• পাড়বাদে পুকুরের দৈর্ঘ্য: $70 - (4 \times 2) = 62$ মিটার।
• পাড়বাদে পুকুরের প্রস্থ: $60 - (4 \times 2) = 52$ মিটার।
• পাড়বাদে পুকুরের ক্ষেত্রফল: $62 \times 52 = 3224$ বর্গমিটার।

সুতরাং, মোট ক্ষেত্রফল থেকে পুকুরের ক্ষেত্রফল বাদ দিলেই পাড়ের ক্ষেত্রফল পাওয়া যাবে: $4200 - 3224 = 976$ বর্গমিটার।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৫৩৬ বর্গমিটার। খুব সহজেই ধাপে ধাপে হিসাবটি করে ফেলা যায়:

• পুকুরের ক্ষেত্রফল: $60 \times 40 = 2400$ বর্গমিটার।
• পাড় বাদে পুকুরের ক্ষেত্রফল: $1864$ বর্গমিটার।
• পুকুরের পাড়ের ক্ষেত্রফল: $2400 - 1864 = 536$ বর্গমিটার।

অর্থাৎ, পুকুরের মোট ক্ষেত্রফল থেকে পাড় বাদে পুকুরের অংশ বাদ দিলেই পাড়ের ক্ষেত্রফল ৫৩৬ বর্গমিটার পাওয়া যায়।