গণিত

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৯৬ বর্গগজ। সহজ কিছু ধাপে হিসাবটি দেখে নিন:

• পুরো বাগানের ক্ষেত্রফল: $16 \times 12 = 192$ বর্গগজ।
• যেহেতু বাগানের ভেতরে চারদিকে $2$ গজ চওড়া রাস্তা আছে, তাই রাস্তা বাদে বাগানের:
  • দৈর্ঘ্য হবে $16 - (2 \times 2) = 12$ গজ
  • প্রস্থ হবে $12 - (2 \times 2) = 8$ গজ
• রাস্তা বাদে বাগানের ক্ষেত্রফল: $12 \times 8 = 96$ বর্গগজ।
• সুতরাং, রাস্তার ক্ষেত্রফল: $192 - 96 = 96$ বর্গগজ।

এখানে সঠিক উত্তর হলো বর্গক্ষেত্র।

বিষয়টি বোঝা খুবই সহজ:

• আয়তক্ষেত্রের প্রতিটি কোণ সমকোণ বা $90^\circ$ এবং বিপরীত বাহুগুলো সমান থাকে।
• যদি আয়তক্ষেত্রের দুটি সন্নিহিত (পাশের) বাহু সমান হয়ে যায়, তবে তার চারটি বাহুই পরস্পর সমান হয়ে যায়।
• যে চতুর্ভুজের ৪টি বাহুই সমান এবং প্রতিটি কোণ $90^\circ$, তাকেই বর্গক্ষেত্র বলে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ২৬ মিটার। খুব সহজে ধাপগুলো দেখে নেওয়া যাক:

• বর্গের পরিসীমা $24$ মিটার হলে, এর এক বাহুর দৈর্ঘ্য = $\frac{24}{4} = 6$ মিটার।
• সুতরাং, বর্গের ক্ষেত্রফল = $6^2 = 36$ বর্গমিটার।
• প্রশ্নমতে, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $36$ বর্গমিটার এবং প্রস্থ $4$ মিটার। তাই দৈর্ঘ্য = $\frac{36}{4} = 9$ মিটার।
• অতএব, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = $2 \times (9 + 4) = 2 \times 13 = 26$ মিটার।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৩২ মিটার। সহজ ধাপে সমাধানটি দেখে নাও:

• ধরি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ $x$ মিটার, তাহলে দৈর্ঘ্য $3x$ মিটার।
• প্রশ্নমতে, ক্ষেত্রফল $3x \times x = 768 \implies 3x^2 = 768 \implies x^2 = 256 \implies x = 16$ মিটার।
• তাহলে আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $3 \times 16 = 48$ মিটার এবং প্রস্থ $16$ মিটার।
• আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = $2 \times (48 + 16) = 128$ মিটার।
• যেহেতু বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সমান, তাই বর্গক্ষেত্রের পরিসীমাও $128$ মিটার।
• অতএব, বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = $\frac{128}{4} = 32$ মিটার।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৩২ মিটার। হিসেবটি একদম সহজ, চলুন ধাপে ধাপে দেখে নেই:

• আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য $48$ মিটার। তাহলে প্রস্থ হবে দৈর্ঘ্যের এক-তৃতীয়াংশ, অর্থাৎ $\frac{48}{3} = 16$ মিটার।
• আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = $2 \times (48 + 16) = 2 \times 64 = 128$ মিটার।
• প্রশ্নানুসারে, বর্গের পরিসীমা ও আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা সমান। অর্থাৎ বর্গের পরিসীমা = $128$ মিটার।
• যেহেতু বর্গের ৪টি বাহু সমান, তাই বর্গের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য হবে $\frac{128}{4} = 32$ মিটার।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option C: $a\sqrt{5}$। বের করার নিয়মটি খুবই সহজ:

• দেওয়া আছে, প্রস্থ = $a$
• যেহেতু দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ, তাই দৈর্ঘ্য = $2a$
• পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{\text{দৈর্ঘ্য}^2 + \text{প্রস্থ}^2}$
• মান বসিয়ে পাই: $\sqrt{(2a)^2 + a^2} = \sqrt{4a^2 + a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}$

সুতরাং, আয়তক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য হবে $a\sqrt{5}$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ২২০ গজ। হিসাবটা খুব সহজ, নিচে দেখে নিন:

• আমরা জানি, $1$ একর $= 4840$ বর্গগজ।
• সুতরাং, $10$ একর $= 10 \times 4840 = 48400$ বর্গগজ।
• যেহেতু বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল দেওয়া আছে, তাই এর এক বাহুর দৈর্ঘ্য বের করতে বর্গমূল করতে হবে:

$$\sqrt{48400} = 220$$

অতএব, বর্গক্ষেত্রটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য ২২০ গজ।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১৯৬ বর্গফুট। অংকটি খুব সহজেই সমাধান করা যায়:

• মূল বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $400$ বর্গফুট, তাই এর এক বাহুর দৈর্ঘ্য $\sqrt{400} = 20$ ফুট।
• আমরা জানি, $1$ গজ = $3$ ফুট, সুতরাং $2$ গজ = $2 \times 3 = 6$ ফুট।
• বাহুর দৈর্ঘ্য $6$ ফুট কমালে নতুন বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য হবে $20 - 6 = 14$ ফুট।
• অতএব, নতুন বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হবে $14^2 = 196$ বর্গফুট।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৯ গুণ। বিষয়টিকে খুব সহজে হিসাব করা যায়:

• ধরি, মূল সরলরেখার দৈর্ঘ্য $x$ একক। সুতরাং, এর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $x^2$ বর্গ একক।
• ঐ সরলরেখার তিন ভাগের একভাগ অর্থাৎ $\frac{x}{3}$ দৈর্ঘ্যের ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হবে $\left(\frac{x}{3}\right)^2 = \frac{x^2}{9}$ বর্গ একক।
• অতএব, মূল ক্ষেত্রফলটি ছোট ক্ষেত্রফলের $x^2 \div \frac{x^2}{9} = 9$ গুণ।

শর্টকাট টেকনিক: বর্গের ক্ষেত্রে বাহুর দৈর্ঘ্য যত গুণ হবে, ক্ষেত্রফল হবে তার বর্গের (square) সমান। তাই দৈর্ঘ্য $3$ গুণ হলে ক্ষেত্রফল হবে $3^2 = 9$ গুণ।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option C: 21। অংকটি খুব সহজে সমাধানের জন্য আমরা সাকসেসিভ শতাংশ বৃদ্ধির শর্টকাট সূত্রটি ব্যবহার করতে পারি।

যেহেতু বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলে দুটি বাহুরই গুণফল থাকে, তাই বাহু $10\%$ বাড়লে ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির হিসাবটি হবে:

• শর্টকাট সূত্র: $a + b + \frac{a \times b}{100}$
• এখানে, $a = 10$ এবং $b = 10$
• মান বসিয়ে পাই: $10 + 10 + \frac{10 \times 10}{100} = 20 + 1 = 21$

অর্থাৎ, ক্ষেত্রফল মোট $21\%$ বৃদ্ধি পাবে।