গণিত

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১৫ মিটার। সহজ লজিক দিয়ে শর্টকাটে অংকটি সমাধান করা যাক:

• প্রস্থ $3$ মিটার কমানোর কারণে খরচ কমে যায়: $720 - 576 = 144$ টাকা।
• তার মানে, প্রস্থের এই $3$ মিটারের জন্যই খরচ হতো $144$ টাকা।
• তাহলে প্রতি $1$ মিটার প্রস্থের খরচ: $\frac{144}{3} = 48$ টাকা।
• অতএব, কামরাটির মোট প্রস্থ ছিল: $\frac{720}{48} = 15$ মিটার।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১৩০০ বর্গ মি.। হিসাবটা খুব সহজ—সম্পূর্ণ জমির ক্ষেত্রফল থেকে ভেতরের পুকুরের ক্ষেত্রফল বাদ দিলেই পুকুর পাড়ের ক্ষেত্রফল পেয়ে যাবো।

• সম্পূর্ণ জমির ক্ষেত্রফল: $80 \times 60 = 4800$ বর্গ মিটার।
• পাড়বাদে পুকুরের দৈর্ঘ্য: $80 - (5 \times 2) = 70$ মিটার।
• পাড়বাদে পুকুরের প্রস্থ: $60 - (5 \times 2) = 50$ মিটার।
• পুকুরের নিজের ক্ষেত্রফল: $70 \times 50 = 3500$ বর্গ মিটার।
• পুকুর পাড়ের ক্ষেত্রফল: $4800 - 3500 = 1300$ বর্গ মিটার।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ২০ মিটার। অঙ্কটি খুব সহজে খরচের পার্থক্য হিসাব করে বের করা যায়:

• দৈর্ঘ্য নির্দিষ্ট থাকায়, কার্পেটের মোট খরচ সরাসরি প্রস্থের ওপর নির্ভর করে।
• প্রস্থ $4$ মিটার কমালে খরচ কমে $7500 - 6000 = 1500$ টাকা।
• অর্থাৎ, $4$ মিটার প্রস্থের জন্য খরচ হয় $1500$ টাকা। সুতরাং, $1$ মিটার প্রস্থের জন্য খরচ $\frac{1500}{4} = 375$ টাকা।
• অতএব, মোট $7500$ টাকা খরচের জন্য কামরাটির মূল প্রস্থ ছিল $\frac{7500}{375} = 20$ মিটার।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৭৬৫৬ টাকা। খুব সহজেই ধাপে ধাপে এটি হিসেব করা যায়:

• পুরো বাগানের ক্ষেত্রফল: $80 \times 60 = 4800$ বর্গমিটার।
• রাস্তা বাদে বাগানের দৈর্ঘ্য: $80 - (4 \times 2) = 72$ মিটার এবং প্রস্থ: $60 - (4 \times 2) = 52$ মিটার।
• রাস্তা বাদে বাগানের ক্ষেত্রফল: $72 \times 52 = 3744$ বর্গমিটার।
• পথের ক্ষেত্রফল: $4800 - 3744 = 1056$ বর্গমিটার।
• পথ বাঁধানোর মোট খরচ: $1056 \times 7.25 = 7656$ টাকা।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৪০০ বর্গমিটার। হিসাবটি খুব সহজেই মিলিয়ে নেওয়া যায়:

• ধরি, বর্গাকার বাগানের এক বাহুর দৈর্ঘ্য $x$ মিটার। তাহলে বাগানের ক্ষেত্রফল $x^2$ বর্গমিটার।
• বাগানের বাইরে $5$ মিটার চওড়া রাস্তা থাকায় রাস্তাসহ এক বাহুর দৈর্ঘ্য হবে $(x + 2 \times 5) = (x + 10)$ মিটার।
• শর্তানুসারে, রাস্তার ক্ষেত্রফল: $$(x + 10)^2 - x^2 = 500$$
• বা, $x^2 + 20x + 100 - x^2 = 500$
• বা, $20x = 400 \implies x = 20$ মিটার।

সুতরাং, বাগানের ক্ষেত্রফল হবে $20^2 =$ ৪০০ বর্গমিটার।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৬৪০০ টি। খুব সহজে উত্তরটি বের করার নিয়ম নিচে দেওয়া হলো:

• আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা: প্রস্থ $x$ মিটার হলে দৈর্ঘ্য $3x$ মিটার। ক্ষেত্রফল $3x \times x = 768 \implies 3x^2 = 768 \implies x = 16$ মিটার। তাহলে দৈর্ঘ্য $= 48$ মিটার এবং আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা $= 2(48 + 16) = 128$ মিটার।
• বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল: বর্গক্ষেত্রের পরিসীমাও $128$ মিটার। তাই বর্গক্ষেত্রের এক বাহু $= \frac{128}{4} = 32$ মিটার এবং ক্ষেত্রফল $= 32^2 = 1024$ বর্গমিটার।
• পাথরের সংখ্যা: পাথরের এক বাহু $40 \text{ cm} = 0.4$ মিটার, তাই ১টি পাথরের ক্ষেত্রফল $= 0.4 \times 0.4 = 0.16$ বর্গমিটার। সুতরাং মোট পাথর লাগবে $= \frac{1024}{0.16} = 6400$ টি।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৪০ ও ২৮। শর্টকাট উপায়ে অংকটি খুব সহজেই সমাধান করা যায়:

• আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের যোগফল (অর্ধ-পরিসীমা) $= \frac{136}{2} = 68$ মিটার।
• যেহেতু দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের পার্থক্য $12$ মিটার:
• দৈর্ঘ্য $= \frac{68 + 12}{2} = 40$ মিটার।
• প্রস্থ $= \frac{68 - 12}{2} = 28$ মিটার।

অর্থাৎ, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ৪০ মিটার এবং প্রস্থ ২৮ মিটার।

এখানে সঠিক উত্তর হলো আয়তক্ষেত্র।

বিষয়টা একদম সহজ! সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো এমনিতেই সমান ও সমান্তরাল থাকে। এখন যদি এর কর্ণ দুটিও মেপে দেখা যায় যে তারা পরস্পর সমান (অর্থাৎ $d_1 = d_2$), তবে তার প্রতিটি কোণ সোজা হয়ে $90^\circ$ বা সমকোণে পরিণত হয়। আর যে সামান্তরিকের প্রতিটি কোণ সমকোণ, সেটিই একটি আয়তক্ষেত্র।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৬ মিটার। বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল জানা থাকলে শর্টকাটে কর্ণের দৈর্ঘ্য বের করা খুবই সহজ!

আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও কর্ণের দৈর্ঘ্য ($d$) এর সম্পর্কটি হলো: ক্ষেত্রফল $= \frac{d^2}{2}$।

অতএব, কর্ণের দৈর্ঘ্য বের করার সহজ ধাপগুলো দেখুন:

• $d = \sqrt{2 \times \text{ক্ষেত্রফলের মান}}$
• $d = \sqrt{2 \times 18}$
• $d = \sqrt{36} = 6$ মিটার

সুতরাং, বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য হলো ৬ মিটার।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১০৮°। খুব সহজ একটি শর্টকাট নিয়মে সুষম পঞ্চভুজের অন্তঃস্থ কোণ বের করা যায়:

• পঞ্চভুজের বাহুর সংখ্যা, $n = 5$।
• আমরা জানি, যেকোনো সুষম বহুজুজের প্রতিটি বহিস্থ কোণ = $\frac{360^\circ}{n}$। সুতরাং বহিস্থ কোণ = $\frac{360^\circ}{5} = 72^\circ$।
• একটি সরলরেখায় অন্তঃস্থ ও বহিস্থ কোণের সমষ্টি সবসময় $180^\circ$ হয়।
• অতএব, প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ = $180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$।

সরাসরি সূত্র $\frac{(n - 2) \times 180^\circ}{n}$ দিয়ে হিসাব করলেও উত্তর ১০৮°-ই আসবে।