গণিত

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৫৪ বর্গমিটার। সহজ ধাপে হিসাবটি দেখে নিন:

• বাগানের নিজস্ব ক্ষেত্রফল: $15 \times 10 = 150$ বর্গমিটার।
• পথসহ দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ: বাগানের চারিদিকে $1$ মিটার করে পথ থাকায়, পথসহ দৈর্ঘ্য $15 + (1 \times 2) = 17$ মিটার এবং পথসহ প্রস্থ $10 + (1 \times 2) = 12$ মিটার।
• পথসহ মোট ক্ষেত্রফল: $17 \times 12 = 204$ বর্গমিটার।
• পথের ক্ষেত্রফল: পথসহ ক্ষেত্রফল থেকে বাগানের আসল ক্ষেত্রফল বিয়োগ করলেই পথের ক্ষেত্রফল বের হয়ে যাবে, অর্থাৎ $204 - 150 = 54$ বর্গমিটার।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৫ সে.মি। কৌশলটি জানা থাকলে খুব সহজেই এটি সমাধান করা যায়:

সামন্তরিকের একটি কর্ণ এটিকে সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট দুটি ত্রিভুজে বিভক্ত করে। ফলে সামন্তরিকের মোট ক্ষেত্রফল হয় কর্ণ এবং উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্যের গুণফলের সমান।

• আমরা জানি, ক্ষেত্রফল $=$ কর্ণ $\times$ লম্বের দৈর্ঘ্য
• অতএব, লম্বের দৈর্ঘ্য $= \frac{\text{ক্ষেত্রফল}}{\text{কর্ণ}}$
• মান বসিয়ে পাই, লম্বের দৈর্ঘ্য $= \frac{120}{24} = 5$ সে.মি.

অর্থাৎ, বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য ৫ সে.মি।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১৬, ১২। গণিতটি সহজে বোঝার উপায়:

• ধরি, বড় বাহুটি $x$ মিটার এবং ছোট বাহুটি $(x - 4)$ মিটার।
• আমরা জানি, ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফলের সূত্র হলো: $\frac{1}{2} \times (a + b) \times h$
• এখানে সমান্তরাল বাহু দুটির বিয়োগফল: $16 - 12 = 4$ মিটার।
• এবং বাহু দুটির যোগফল: $16 + 12 = 28$ মিটার।

শর্ত ও সূত্রের হিসাব মিলিয়ে দেখলে পাওয়া যায় সমান্তরাল বাহু দুটির সঠিক দৈর্ঘ্য হলো ১৬ মিটার এবং ১২ মিটার।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৪ মিটার। খুব সহজে নিচের ধাপগুলো দিয়ে হিসাবটি বুঝে নিন:

• ধরি, সামান্তরিকের উচ্চতা = $h$ মিটার।
• প্রশ্নমতে, ভূমি উচ্চতার ৩ গুণ, তাই ভূমি = $3h$ মিটার।
• আমরা জানি, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি $\times$ উচ্চতা।
• তাহলে, $3h \times h = 48$
• বা, $3h^2 = 48$
• বা, $h^2 = 16$
• অতএব, $h = \sqrt{16} = 4$ মিটার।

সুতরাং সামান্তরিকটির নির্ণেয় উচ্চতা ৪ মিটার।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ২৪ সে.মি.। খুব সহজে কীভাবে সমাধান করবেন তা দেখে নিন:

• ধরি, ঘনবস্তুটির দৈর্ঘ্য $6x$, প্রস্থ $5x$ এবং উচ্চতা $4x$ সে.মি.।
• আমরা জানি, ঘনবস্তুর পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের সূত্র = $2(ab + bc + ca)$
• প্রশ্নানুসারে: $$2(6x \cdot 5x + 5x \cdot 4x + 4x \cdot 6x) = 2364$$
• বা, $2(30x^2 + 20x^2 + 24x^2) = 2364$
• বা, $2 \times 74x^2 = 2364$
• বা, $148x^2 = 2364$
• বা, $x^2 = \frac{2364}{148} = 16$
• সুতরাং, $x = 4$

তাহলে, ঘনবস্তুটির দৈর্ঘ্য হবে $= 6 \times 4 =$ ২৪ সে.মি.।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option A: ১০০°। কারণ যেকোনো বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত দুটি কোণের যোগফল সবসময় $180^\circ$ হয়।

সেই অনুযায়ী, চতুর্ভুজটির $\angle B$ এবং $\angle D$ হলো পরস্পর বিপরীত কোণ। হিসাবটি খুব সহজ:

• $\angle B + \angle D = 180^\circ$
• $\angle D = 180^\circ - \angle B$
• $\angle D = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$

সুতরাং, $\angle D$ এর মান হলো $100^\circ$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১২১ বর্গ মি.। বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা জানা থাকলে ক্ষেত্রফল বের করা একদমই সহজ!

• ১. বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয়: বর্গক্ষেত্রের ৪টি বাহুই সমান। তাই পরিসীমাকে ৪ দিয়ে ভাগ করলেই এক বাহুর দৈর্ঘ্য পাওয়া যায়। সুতরাং বাহুর দৈর্ঘ্য, $a = \frac{44}{4} = 11$ মিটার।
• ২. ক্ষেত্রফল নির্ণয়: বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সূত্র হলো $a^2$। সুতরাং, বাগানের ক্ষেত্রফল = $11^2 = 121$ বর্গ মিটার।

এখানে সঠিক উত্তর হলো: $\Delta PAB + \Delta PCD = \frac{1}{2}$ (সামন্তরিক $ABCD$)

বিষয়টা বোঝা খুবই সহজ:

• সামন্তরিক $ABCD$-এর অভ্যন্তরে যেকোনো একটি বিন্দু $P$ অবস্থান করলে, বিপরীত দুই বাহুকে ভিত্তি ধরে গঠিত ত্রিভুজদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি সর্বদা পুরো সামন্তরিকের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক ($\frac{1}{2}$) হয়।
• যেহেতু $AB$ এবং $CD$ দুটি বিপরীত বাহু, তাই বিন্দু $P$-এর সাথে গঠিত বিপরীত দুটি ত্রিভুজ $\Delta PAB$ এবং $\Delta PCD$-এর মোট ক্ষেত্রফল হবে সামন্তরিক $ABCD$-এর ক্ষেত্রফলের ঠিক অর্ধেক।

এখানে সঠিক উত্তর হলো চারটি।

যেকোনো সামান্তরিকের দুটি কর্ণ পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। এর ফলে কর্ণ দুটি পুরো সামান্তরিক ক্ষেত্রটিকে $4$টি সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ত্রিভুজক্ষেত্রে ভাগ করে।

• একটি কর্ণ সামান্তরিককে $2$টি সমান ত্রিভুজে বিভক্ত করে।
• উভয় কর্ণ একসাথে আঁকলে মোট $4$টি সমান ক্ষেত্রফলের ত্রিভুজ গঠিত হয়।

এখানে সঠিক উত্তর হলো সমান ও সমান্তরাল।

জ্যামিতির মৌলিক নিয়ম অনুযায়ী, কোনো চতুর্ভুজের যেকোনো একজোড়া বিপরীত বাহু যদি সমান ও সমান্তরাল হয়, তবে চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক (Parallelogram) হয়ে যায়।

সামান্তরিকের ধর্মই হলো—

• এর বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান হয়।
• এর বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান্তরাল হয়।

তাই চতুর্ভুজের একজোড়া বিপরীত বাহু সমান ও সমান্তরাল হলে, এর অপর বাহু দুটিও স্বয়ংক্রিয়ভাবে সমান ও সমান্তরাল হবে।