গণিত

এখানে সঠিক উত্তর হলো সমকোণে দ্বিখণ্ডিত করে।

সামন্তরিকের জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য অনুযায়ী, এর কর্ণদ্বয় একে অপরকে যে বিন্দুতে ছেদ করে, সেখানে তারা পরস্পরকে সমান দুই ভাগে ভাগ করে এবং ছেদবিন্দুতে উৎপন্ন কোণের মান হয় $90^\circ$।

• কর্ণ দুটি পরস্পরকে সমান দুই অংশে বিভক্ত করে।
• তাদের ছেদবিন্দুতে তৈরি হওয়া প্রতিটি কোণ হলো এক সমকোণ বা $90^\circ$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো বৃহত্তর। জ্যামিতির একটি মৌলিক নিয়ম দিয়ে এটি সহজে বোঝা যায়— ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।

• ধরি, $ABCD$ চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় $AC$ এবং $BD$ পরস্পরকে $O$ বিন্দুতে ছেদ করে।
• কর্ণদ্বয় দিয়ে গঠিত চারটি ত্রিভুজ থেকে পাই: $OA + OB > AB$, $OB + OC > BC$, $OC + OD > CD$ এবং $OD + OA > DA$।
• সবগুলো অসমতা যোগ করলে দাঁড়ায়: $2(AC + BD) > AB + BC + CD + DA$।
• উভয়পক্ষকে $2$ দিয়ে ভাগ করলে পাই: $AC + BD > \frac{1}{2}(AB + BC + CD + DA)$।

অর্থাৎ, যেকোনো চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয়ের সমষ্টি সবসময় তার পরিসীমার অর্ধেক অপেক্ষা বৃহত্তর হয়।

যেকোনো চতুর্ভুজের চার বাহুর মধ্যবিন্দু পরপর যোগ করলে সবসময় একটি সামন্তরিক তৈরি হয়। এটি জ্যামিতির একটি গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম, যা ভ্যারিগননের উপপাদ্য (Varignon's Theorem) নামে পরিচিত।

সহজ লজিকটি লক্ষ্য করো:

• চতুর্ভুজের একটি কর্ণ আঁকলে যে দুটি ত্রিভুজ গঠিত হয়, ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুসংযোজক রেখাংশ সবসময় তৃতীয় বাহুর (কর্ণের) সমান্তরাল ও অর্ধেক হয়।
• এর ফলে গঠিত নতুন চতুর্ভুজটির বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল হয়ে যায়।
• আর যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল, তা একটি সামন্তরিক।

এখানে সঠিক উত্তর হলো আয়তক্ষেত্র। বিষয়টাও খুব সহজ—

• যেকোনো সামন্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল থাকে।
• যখন একটি সামন্তরিকের দুই কর্ণের দৈর্ঘ্য সমান হয়ে যায়, তখন তার কোণগুলো স্বয়ংক্রিয়ভাবে $90^\circ$ বা সমকোণে পরিণত হয়।
• আর যে সামন্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো সমান এবং প্রতিটি কোণ সমকোণ, তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো সমান্তরাল।

যেকোনো ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রে একটি দারুণ জ্যামিতিক ধর্ম রয়েছে:

• ট্রাপিজিয়ামের অসমান্তরাল বা তীর্যক বাহু দুটির মধ্যবিন্দু যোগ করলে যে রেখাটি পাওয়া যায়, তা সবসময় ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সাথে সমান্তরাল হয়।
• মজার বিষয় হলো, এই সংযোজক রেখাটির দৈর্ঘ্য হয় সমান্তরাল বাহু দুটির যোগফলের অর্ধেক, অর্থাৎ দৈর্ঘ্য $= \frac{a + b}{2}$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $\frac{1}{2} \times$ কর্ণদ্বয়ের গুণফল।

রম্বসের দুটি কর্ণ পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে। তাই এর ভেতরের মোট পরিমাপ বা ক্ষেত্রফল বের করার সবচেয়ে সহজ উপায় হলো এর কর্ণ দুটির গুণফলকে অর্ধেক করা।

• ধরি, রম্বসের প্রথম কর্ণ $d_1$ এবং দ্বিতীয় কর্ণ $d_2$।
• তাহলে ক্ষেত্রফলের সূত্রটি দাঁড়ায়: $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$

সহজ কথায়, যেকোনো রম্বসের দুটি কর্ণের মান জানা থাকলে, তাদের গুণ করে $2$ দিয়ে ভাগ করলেই নিমিষে ক্ষেত্রফল বের হয়ে যায়।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১২০০ বর্গ সেমি। রম্বসের ক্ষেত্রফল বের করার সূত্রটি জানা থাকলে অংকটি এক লাইনেই সমাধান করা যায়।

সূত্রটি হলো: রম্বসের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times$ কর্ণদ্বয়ের গুণফল

• প্রথম কর্ণ, $d_1 = 40$ সেমি
• দ্বিতীয় কর্ণ, $d_2 = 60$ সেমি
• অতএব, ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times 40 \times 60 = 1200$ বর্গ সেমি

এখানে সঠিক উত্তর হলো সামন্তরিক।

যেকোনো চতুর্ভুজের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু পরপর যুক্ত করলে সবসময় একটি সামন্তরিক তৈরি হয়। জ্যামিতিতে এটি ভ্যারিননের উপপাদ্য (Varignon's Theorem) নামে পরিচিত।

বিষয়টি সহজে বুঝে নেওয়া যাক:

• চতুর্ভুজের যেকোনো একটি কর্ণ আঁকলে, বিপরীত দুই বাহুর মধ্যবিন্দু সংযোজক রেখাংশ দুটি ওই কর্ণের সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক হয়।
• যেহেতু নতুন চতুর্ভুজটির বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল, তাই গঠিত ক্ষেত্রটি একটি সামন্তরিক।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৪। ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রটি ব্যবহার করে খুব সহজেই এটি সমাধান করা যায়।

আমরা জানি, ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times$ (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) $\times$ লম্ব দূরত্ব।

• সমান্তরাল বাহুদ্বয়, $a = 3$ সেমি এবং $b = 1$ সেমি
• লম্ব দূরত্ব, $h = 2$ সেমি

সূত্রে মানগুলো বসিয়ে পাই:

$$\frac{1}{2} \times (3 + 1) \times 2 = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4$$

অতএব, লোহার পাতটির ক্ষেত্রফল ৪ বর্গ সেমি।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১২০°। বিষয়টির হিসাব খুব সহজ!

যেকোনো সুষম বহুজুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ নির্ণয়ের সূত্র হলো $\frac{(n - 2) \times 180^\circ}{n}$ (যেখানে $n$ হলো বাহুর সংখ্যা)।

যেহেতু ষড়ভুজের বাহুর সংখ্যা $n = 6$, তাই মান বসিয়ে পাই:

• প্রতিটি কোণ = $\frac{(6 - 2) \times 180^\circ}{6}$
• = $\frac{4 \times 180^\circ}{6}$
• = $4 \times 30^\circ = \mathbf{120^\circ}$

সহজ টেকনিক: ষড়ভুজের বহিস্থ কোণ = $\frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$। তাই প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ হবে = $180^\circ - 60^\circ = \mathbf{120^\circ}$।