৪২তম বিসিএস (বিশেষ) পরীক্ষা [স্বাস্থ্য ক্যাডার) প্রিলিমিনারি ও লিখিত প্রশ্ন সমাধান ২০২১

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৫ সেমি। বিষয়টি সমকোণী ত্রিভুজের একটি সহজ কনসেপ্ট দিয়ে চিন্তা করলেই বোঝা যায়:

• বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা-টিকে সমান দুই ভাগে বিভক্ত করে। তাই জ্যা-এর অর্ধেক দৈর্ঘ্য হবে $\frac{24}{2} = 12$ সেমি।
• এখন, বৃত্তের ব্যাসার্ধ ($13$ সেমি) হলো অতিভুজ এবং জ্যা-এর অর্ধেক ($12$ সেমি) হলো ভূমি। কেন্দ্র থেকে লম্বের দৈর্ঘ্য বের করতে পিথাগোরাসের সূত্র ব্যবহার করি:

$$\text{লম্বের দৈর্ঘ্য} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 \text{ সেমি}$$

শর্টকাট ট্রিক: সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত বা ট্রিপলেট $(5, 12, 13)$ মনে রাখলে অতিভুজ $13$ ও এক বাহু $12$ দেখে সরাসরি বলে দেওয়া যায় লম্বের দৈর্ঘ্য হবে ৫ সেমি।

কোনো বৃত্তে দুটি সমান জ্যা যদি পরস্পরকে ছেদ করে, তবে তাদের বিভক্ত অংশগুলো বা অনুরূপ খণ্ডাংশগুলোও পরস্পরের সমান হয়। এটি বৃত্তের একটি গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম।

প্রশ্নে $AB$ এবং $CD$ দুটি সমান জ্যা, যারা $P$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। ফলে জ্যা দুটি দুটি করে অংশে ভাগ হয়:

• বড় অংশ দুটি সমান হবে: $PA = PC$
• ছোট অংশ দুটি সমান হবে: $PB = PD$

সহজ কথায়, একটি জ্যা-এর টুকরো অপর জ্যা-এর সমান টুকরোর সাথে মিলে যায়। তাই এখানে $PB = PD$ সম্পর্কটি একদম সঠিক।

এখানে সঠিক উত্তর হলো সমকোণ।

বিষয়টা মনে রাখা খুব সহজ! একটি সমকোণী ত্রিভুজের সবচেয়ে বড় কোণটি হলো সমকোণ ($90^\circ$)। এই সমকোণের ঠিক বিপরীত পাশের বাহুটিকে বলা হয় অতিভুজ। তাই স্বাভাবিকভাবেই, অতিভুজের বিপরীতে সর্বদা সমকোণ অবস্থান করে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১২০ ডিগ্রী। সূত্র জানা থাকলে অংকটি এক নিমিষেই সমাধান করা যায়!

যেকোনো সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণ নির্ণয়ের সহজ সূত্র হলো $\frac{(n - 2) \times 180^\circ}{n}$।

যেহেতু এটি একটি ষড়ভুজ, তাই এর বাহুর সংখ্যা $n = 6$।

এখন সূত্রে মান বসিয়ে পাই:

• অন্তঃকোণ $= \frac{(6 - 2) \times 180^\circ}{6}$
• $= \frac{4 \times 180^\circ}{6}$
• $= 4 \times 30^\circ = 120^\circ$

অর্থাৎ, একটি সুষম ষড়ভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাণ হলো ১২০°।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৬ ঘণ্টা। হিসাবটি একদম সহজ, চলুন সহজে দেখে নিই:

• স্রোতের অনুকূলে কার্যকর গতিবেগ = $18 + 6 = 24$ কিমি/ঘণ্টা
• স্রোতের প্রতিকূলে কার্যকর গতিবেগ = $18 - 6 = 12$ কিমি/ঘণ্টা
• অনুকূলে ৪৮ কিমি যেতে সময় লাগে = $\frac{48}{24} = 2$ ঘণ্টা
• প্রতিকূলে ৪৮ কিমি ফিরে আসতে সময় লাগে = $\frac{48}{12} = 4$ ঘণ্টা

সুতরাং, যাওয়া ও ফিরে আসতে মোট সময় লাগবে = $2 + 4 = 6$ ঘণ্টা।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৮। কারণ বিষয়টা খুব সহজ—

• আমাদের এমন দুটি সংখ্যা বের করতে হবে যাদের গুণফল $72$ এবং যোগফল $17$।
• আমরা জানি, $9 \times 8 = 72$ এবং $9 + 8 = 17$।
• তাহলে সংখ্যা দুটি হলো $9$ এবং $8$।

যেহেতু প্রশ্নে ছোট সংখ্যাটি জানতে চাওয়া হয়েছে, তাই সঠিক উত্তর হলো $8$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো -৩। বিষয়টা খুব সহজ:

• আমরা জানি, $81$ এর বর্গ হলো $81^2 = 6561$, যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।
• আমাদের প্রদত্ত সংখ্যাটি হলো $6558$।
• $6558$ সংখ্যাটিকে নিকটতম পূর্ণবর্গ সংখ্যা $6561$ এ রূপান্তর করতে পার্থক্যের মান হিসেবে -৩ সমন্বয় করতে হয়।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১২। এই ধরণের প্রশ্নে বৃহত্তম সংখ্যাটি বের করার সহজ নিয়ম হলো— প্রথমে প্রতিটি সংখ্যা থেকে তার ভাগশেষ বিয়োগ করতে হবে এবং প্রাপ্ত বিয়োগফলগুলোর গ.সা.গু. নির্ণয় করতে হবে।

• সংখ্যাগুলো থেকে ভাগশেষ বিয়োগ করি:
  • $27 - 3 = 24$
  • $40 - 4 = 36$
  • $65 - 5 = 60$
• এখন $24$, $36$ এবং $60$-এর গ.সা.গু. নির্ণয় করি:
  • $24, 36, 60$-কে ভাগ করা যায় এমন সবথেকে বড় সংখ্যাটি হলো $12$।

অতএব, নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো ১২।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১৮। খুব সহজে হিসাবটি দেখে নেওয়া যাক:

• সংখ্যার ৩ গুণের সাথে ২ গুণ যোগ করলে মোট হয় ৫ গুণ ($3 + 2 = 5$)।
• প্রশ্নানুসারে, এই $5$ গুণের মান হলো $90$।
• সুতরাং, মূল সংখ্যাটি হবে $\frac{90}{5} = 18$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৬। খুব সহজেই বিষয়টি বুঝে নেওয়া যাক:

• সংখ্যাটি ৬ হলে, এর দ্বিগুণ হলো $6 \times 2 = 12$
• দ্বিগুণের সাথে $3$ যোগ করলে যোগফল দাঁড়ায় $12 + 3 = 15$
• প্রশ্নমতে শর্তটি মিলিয়ে দেখলে নির্ণেয় সংখ্যাটি পাওয়া যায় ৬।