বিভিন্ন মন্ত্রণালয়ের নিয়োগ পরীক্ষা ২০১৫

এখানে সঠিক উত্তর হলো প্রবৃদ্ধ কোণ। বিষয়টি খুব সহজভাবে মনে রাখতে পারেন:

• যে কোণের পরিমাপ $180^\circ$ থেকে বড় কিন্তু $360^\circ$ থেকে ছোট, তাকেই প্রবৃদ্ধ কোণ বলা হয়।
• যেহেতু $182^\circ$ কোণটি $180^\circ$-এর চেয়ে বড়, তাই এটি নিশ্চিতভাবেই একটি প্রবৃদ্ধ কোণ।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৬(১/৪) % কমেছে। শেয়ারের দাম বাড়া বা কমার এ ধরনের অঙ্কের ক্ষেত্রে খুব সহজে একটি শর্টকাট সূত্র ব্যবহার করা যায়।

• দাম প্রথমে ২৫% বেড়ে পরে ২৫% কমে যাওয়ায় মোট পরিবর্তনের হার হবে: $-\frac{x^2}{100}\%$
• এখানে $x = 25$, তাই মান বসিয়ে পাই: $-\frac{25^2}{100}\% = -\frac{625}{100}\% = -6.25\%$
• মাইনাস চিহ্নটি নির্দেশ করে যে শেয়ারের দাম কমেছে।
• সংখ্যাটিকে ভগ্নাংশে প্রকাশ করলে পাই: $6.25\% = 6\frac{1}{4}\%$

অতএব, শেষ পর্যন্ত শেয়ারের দাম ৬(১/৪)% কমেছে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১৯৪ (Option A)। অঙ্কটা খুব সহজেই দুই ধাপে বর্গের সূত্র দিয়ে সমাধান করা যায়:

• প্রথমে দেওয়া আছে, $P + \frac{1}{P} = 4$
• উভয় পক্ষকে বর্গ করে পাই, $\left(P + \frac{1}{P}\right)^2 = 4^2$
  বা, $P^2 + \frac{1}{P^2} + 2 = 16$
  বা, $P^2 + \frac{1}{P^2} = 14$
• এবার মানটিকে আবার বর্গ করতে হবে: $\left(P^2 + \frac{1}{P^2}\right)^2 = 14^2$
  বা, $P^4 + \frac{1}{P^4} + 2 = 196$
  বা, $P^4 + \frac{1}{P^4} = 196 - 2 = 194$

ব্যস, এভাবেই খুব দ্রুত মান বের করে ফেলা যায়!

এখানে সঠিক উত্তর হলো সমকোণী। খুব সহজেই বিষয়টি বুঝে নেওয়া যাক:

• আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি সবসময় $180^\circ$ হয়।
• এখানে ত্রিভুজের দুটি কোণ দেওয়া আছে $20^\circ$ এবং $70^\circ$।
• তাহলে, তৃতীয় কোণটির মান হবে: $180^\circ - (20^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$।
• যেহেতু ত্রিভুজের একটি কোণ ঠিক $90^\circ$ বা সমকোণ, তাই এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

এখানে সঠিক উত্তর হলো (x-5)। বীজগাণিতিক রাশি দুটির গ.সা.গু. নির্ণয় করার জন্য আমাদের প্রথমে রাশিগুলোকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে। খুব সহজে এটি সমাধান করা যায় নিচের ধাপে:

• প্রথম রাশিটি হলো $x^2 - 11x + 30$, এটিকে মিডল টার্ম করলে পাই: $x^2 - 6x - 5x + 30 = x(x-6) - 5(x-6) = (x-6)(x-5)$
• দ্বিতীয় রাশিটি হলো $x^3 - 4x^2 - 2x + 15$, এখানে $x = 5$ বসালে রাশির মান শূন্য হয়, তাই $(x-5)$ একটি উৎপাদক। সিন্থেটিক বা ভাগ করে পাই: $(x-5)(x^2 + x - 3)$

উভয় রাশিতে সাধারণ বা কমন উৎপাদকটি হলো $(x-5)$। তাই নির্ণেয় গ.সা.গু. হলো $(x-5)$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option B: 3 ও 2। সমীকরণ দুটি খুব সহজে সমাধান করার নিয়ম নিচে দেওয়া হলো:

• প্রথমে সমীকরণ দুটি লিখে নিই: $x + 2y = 7$ (১নং) এবং $2x - 3y = 0$ (২নং)।
• ১নং সমীকরণ থেকে পাই, $x = 7 - 2y$।
• এখন $x$-এর এই মান ২নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, $2(7 - 2y) - 3y = 0$
• বা, $14 - 4y - 3y = 0$
• বা, $14 - 7y = 0$
• অতএব, $y = 2$।
• $y$-এর মান ১নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, $x + 2(2) = 7$, অর্থাৎ $x = 3$।

সুতরাং, নির্ণেয় মান দুটি হলো $x = 3$ এবং $y = 2$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option A: 50%। অঙ্কটা খুব সহজে মুখে মুখেই সমাধান করা যায়:

• মনে করি, ১ টাকায় ৩টি আম কিনে ১ টাকায় ২টি আম বিক্রি করা হলো।
• তাহলে, ২টি আমের বিক্রয়মূল্য = ১ টাকা
• এবং ৩টি আমের ক্রয়মূল্য = ১ টাকা
• ১টি আমের ক্রয়মূল্য = $\frac{1}{3}$ টাকা
• ১টি আমের বিক্রয়মূল্য = $\frac{1}{2}$ টাকা
• লাভ = বিক্রয়মূল্য − ক্রয়মূল্য = $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ টাকা
• শতকরা লাভ = $\frac{\text{লাভ}}{\text{ক্রয়মূল্য}} \times 100\% = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}} \times 100\% = \frac{1}{2} \times 100\% = 50\%$

এখানে সঠিক উত্তর হলো কোনোটিই নয়। কারণ ধারাটির সঠিক মান বের করতে আমরা বিজোড় সংখ্যার বর্গের সমষ্টির সূত্র ব্যবহার করতে পারি।

ধাপগুলো দেখে নেওয়া যাক:

• প্রথমে শেষ পদ $n = 31$ ধরে নেব।
• $1$ থেকে $n$ পর্যন্ত বিজোড় সংখ্যার বর্গের সমষ্টির সূত্রটি হলো: $$\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$$
• এখন মান বসিয়ে পাই: $$\frac{31(31+1)(31+2)}{6} = \frac{31 \times 32 \times 33}{6}$$
• কাটাকাটি করে হিসাব করলে ফলাফল আসে: $$31 \times 16 \times 11 = 5456$$
• যেহেতু সঠিক উত্তর ৫৪৫৬ অপশনে নেই, তাই সঠিক উত্তর হবে কোনোটিই নয়।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option A: ৫ জনকে। কারণ বিষয়টি খুব সহজ—বালকদের মধ্যে কমলালেবু ও কলা সমান ভাগে ভাগ করে দিতে হলে এমন একটি সংখ্যা বের করতে হবে যা দিয়ে মোট লেবু ও কলা উভয়কেই নিঃশেষে ভাগ করা যায়। অর্থাৎ, ১২৫ এবং ১৪৫ এর গসাগু (GCD) নির্ণয় করতে হবে।

• ১২৫ এর উৎপাদকগুলো হলো: $1, 5, 25, 125$
• ১৪৫ এর উৎপাদকগুলো হলো: $1, 5, 29, 145$

এখানে ১২৫ এবং ১৪৫ এর সাধারণ গুণনীয়ক বা গসাগু হলো $5$। তাই সর্বোচ্চ ৫ জন বালকের মধ্যেই কেবল কমলালেবু ও কলা সমান ভাগে ভাগ করে দেওয়া সম্ভব।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 25%। অঙ্কটা খুব সহজেই সমাধান করা যায়:

• মাসুদের আয়ের অনুপাত $= 20$ এবং ব্যয়ের অনুপাত $= 15$
• তাহলে, তার মাসিক সঞ্চয় হবে: $(20 - 15) = 5$ অনুপাত
• এখন সঞ্চয় আয়ের শতকরা কত অংশ বের করতে হবে, অর্থাৎ আয়ের সাูপেক্ষে সঞ্চয়ের শতকরা হিসাব: $\frac{5}{20} \times 100\% = 25\%$