There is a point in a circle. What is the probability that this point is closer to its circumference than to the center?

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option A: $\frac{3}{4}$। কারণ বিষয়টি একটু জ্যামিতিক ভাবনায় খুব সহজেই বের করা যায়:

• ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ হলো $R$ এবং কেন্দ্র থেকে যেকোনো বিন্দুর দূরত্ব হলো $r$।
• কেন্দ্রে থেকে দূরত্ব $r$ হলে, পরিধি থেকে ওই বিন্দুর দূরত্ব হবে $(R - r)$।
• প্রশ্ন অনুযায়ী, বিন্দুটি কেন্দ্রের চেয়ে পরি্ধির কাছাকাছি হবে, যদি পরিধি থেকে দূরত্ব কেন্দ্রের দূরত্বের চেয়ে কম হয়। অর্থাৎ: $R - r < r$
• এটি সমাধান করলে পাই, $2r > R$ বা $r > \frac{R}{2}$।
• এখন, বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাতে এই সম্ভাব্যতা বের করতে হবে। কেন্দ্র থেকে $\frac{R}{2}$ ব্যাসার্ধের ভেতরের অংশের ক্ষেত্রফল হলো $\pi (\frac{R}{2})^2 = \frac{1}{4} \pi R^2$।
• বাকি অংশটুকু অর্থাৎ পরিধির কাছের অঞ্চলের ক্ষেত্রফল হলো মোট ক্ষেত্রফলের $\left(1 - \frac{1}{4}\right) = \frac{3}{4}$ অংশ।

তাই পরি্ধির কাছাকাছি থাকার সম্ভাবনা হলো $\frac{3}{4}$।