উত্তর সিলেক্ট করলে সঠিক ও ভুল দেখাবে।
ব্যাখ্যা ও সঠিক সমাধান
উত্তর:
2/3
∫₁^(e²) dx / (x(1 + ln x)²) = ∫₁^(e²) (1 + ln x)⁻² dx/x = ∫₁^(e²) (1 + ln x)⁻² d(1 + ln x) = [(1 + ln x)⁻²⁺¹ / (-2 + 1)]₁^(e²) = -[(1 + ln x)⁻¹]₁^(e²) = -[((1 + ln e²)⁻¹ - (1 + ln 1)⁻¹)] = -[(1 + 2)⁻¹ - (1 + 0)⁻¹] = -[1/3 - 1] = -(-2/3) = 2/3
বিকল্প: let, z = 1 + ln x ⇒ dz = dx/x. Limit: x = 1 ⇒ z = 1; x = e² ⇒ z = 3.
∫₁³ dz/z² = [-1/z]₁³ = -[1/3 - 1] = 2/3