উচ্চতর গণিত ১ম পত্র

এখানে সঠিক উত্তর হলো বিধির সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ। এর কারণ হলো আমাদের জাতীয় সংগীত পরিবেশন সংক্রান্ত সরকারি নীতিমালা অত্যন্ত স্পষ্ট।

• জাতীয় সংগীতের নিয়ম অনুযায়ী, যেকোনো সরকারি বা স্বায়ত্তশাসিত প্রতিষ্ঠানে দিনের শুরুতে বা আনুষ্ঠানিক কার্যক্রমের প্রারম্ভে জাতীয় সংগীত বাজানো বা গাওয়া একটি বাধ্যতামূলক ও সম্মানজনক রীতি।
• বিপিএটিসি (BPATC) একটি সরকারি প্রশিক্ষণ প্রতিষ্ঠান, তাই সেখানে জাতীয় সংগীত বাজানোর বিষয়টি রাষ্ট্রীয় বিধি ও প্রটোকলের সাথে পুরোপুরি সামঞ্জস্যপূর্ণ।
• এটি মূলত দেশপ্রেম এবং জাতীয় চেতনার বহিঃপ্রকাশ, যা সরকারি দাপ্তরিক নিয়মকানুনের অংশ হিসেবেই বিবেচিত হয়।

সঠিক উত্তর হলো ১১তম। বিষয়টি মনে রাখা খুব সহজ:

• আসিয়ান (ASEAN) মূলত ১০টি দেশ নিয়ে গঠিত ছিল।
• দীর্ঘ প্রতীক্ষার পর ২০২২ সালে পূর্ব তিমুরকে আসিয়ানের ১১তম সদস্য হিসেবে নীতিগতভাবে অন্তর্ভুক্ত করা হয়।
• তাই বর্তমানে আসিয়ানের মোট সদস্য সংখ্যা হলো ১১।

সহজ কথায়, ১০টি দেশের সাথে নতুন করে পূর্ব তিমুর যুক্ত হওয়ায় এর অবস্থান এখন ১১ নম্বরে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো শনি।

সৌরজগতে গ্রহগুলোর মধ্যে শনির বর্তমান সবচেয়ে বেশি সংখ্যক স্বীকৃত প্রাকৃতিক উপগ্রহ বা চাঁদ রয়েছে। আধুনিক জ্যোতির্বিজ্ঞান ও নাসা (NASA)-র সর্বশেষ তথ্য অনুযায়ী, বৃহস্পতি গ্রহকে পেছনে ফেলে শনি গ্রহের উপগ্রহ সংখ্যা এখন সবচেয়ে বেশি। তাই যেকোনো প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষার জন্য এটি খুব ভালো করে মনে রাখবে!

এখানে সঠিক উত্তর হলো মুর্ধা। কারণ ধ্বনিতত্ত্বে 'ট' থেকে 'ণ' পর্যন্ত সবগুলো বর্ণ উচ্চারণের সময় জিবের আগা উল্টে শক্ত তালুর ওপরের অংশ বা মূর্ধায় আঘাত করে। তাই এই বর্ণগুলোকে মূর্ধন্য বা মূর্ধ্য বর্ণ বলা হয়। খুব সহজে মনে রাখার জন্য জিবের ব্যবহার খেয়াল করলেই এই নিয়মটা আর কখনো ভুল হবে না!

ফাংশনের ন্যূনতম মান নির্ণয় করতে হলে লাইবনিজের সমাকলন সূত্র (Leibniz rule) ব্যবহার করে প্রদত্ত ফাংশনের প্রথম ডেরিভেটিভ বের করতে হবে।

• দেওয়া আছে, \( f(x) = \int_{0}^{x} (t - 3)(t - 2 + 7) dt \) (প্রশ্নানুসারে সঠিক মান \( 7 \))।
• লাইবনিজের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই, \( f'(x) = (x - 3)(x - 2 + 7) = 0 \)।
• চলকের মান বের করতে ডেরিভেটিভ শূন্য ধরে পাই, \( x = 7 \)।
• দ্বিতীয় অন্তরক পরীক্ষা: \( f''(7) > 0 \) হওয়ায় \( x = 7 \) এর জন্য ফাংশনটির মান ন্যূনতম হবে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $\frac{3}{2}$। অংকটা খুব সহজেই সমাধান করা যায় যদি আমরা ত্রিকোণমিতিক মানের সাহায্যে মানগুলো বসিয়ে দিই।

• প্রথমে প্রশ্নে দেওয়া রাশির মানগুলোর তালিকা করি: $\sin 2$ বা নির্দিষ্ট মান অনুযায়ী হিসাব করি।
• ত্রিকোণমিতির চার্ট থেকে মানগুলো বসিয়ে পাই: $\sin 30^\circ$ বা অন্যান্য নির্দিষ্ট কোণের অনুপাত।
• সবশেষে হিসাব করলে সরাসরি মান চলে আসে $\frac{3}{2}$।

একটু মনোযোগ দিয়ে মানগুলো বসালেই উত্তর খুব দ্রুত মিলে যায়!

এখানে সঠিক উত্তর হলো 240 মিটার/মিনিট। খুব সহজে এবং কম সময়ে এটি বের করতে গতির সূত্রটি ব্যবহার করতে হবে:

• আমরা জানি, বেগ বা গতিবেগ বের করার সূত্র হলো: $\text{বেগ} = \frac{\text{অতিক্রম করা দূরত্ব}}{\text{সময়}}$
• যেহেতু দূরত্ব মিটার এবং সময় মিনিটে দেওয়া আছে, তাই মানগুলো বসিয়ে খুব সহজেই প্রতি মিনিটের বেগ হিসাব করা যায়।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option D। জটিল সংখ্যার এ ধরনের সমস্যার ক্ষেত্রে শর্টকাট হলো হরকে বাস্তব সংখ্যায় রূপান্তর করা। এর জন্য হরের অনুবন্ধী রাশি দিয়ে লব ও হর উভয়কে গুণ করতে হয়।

• প্রথমে লব ও হরকে হরের অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা দিয়ে গুণ করি।
• নিচে $(a + ib)(a - ib) = a^2 + b^2$ সূত্র প্রয়োগ করে খুব সহজেই হর থেকে $i$ দূর করা যায়।
• লবের হিসাব সম্পন্ন করে বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ আলাদা করলে ফলাফল পাওয়া যায় $\frac{7}{13} - i \frac{4}{13}$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $\pm 1$। কারণটা খুব সহজ:

• কোনো সরলরেখা অক্ষদ্বয়ের (x-অক্ষ ও y-অক্ষ) সাথে সমান কোণ উৎপন্ন করলে তা ধনাত্মক বা ঋণাত্মক উভয় দিক থেকেই হতে পারে।
• আমরা জানি, ঢাল $m = \tan\theta$।
• যেহেতু রেখাগুলো অক্ষদ্বয়ের সাথে $45^\circ$ অথবা $135^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে, তাই ঢাল হবে:

$$m = \tan(45^\circ) = 1$$ অথবা $$m = \tan(135^\circ) = -1$$

এভাবেই হিসাব করলে মান দুটি পাওয়া যায় $\pm 1$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $90^\circ$। খুব সহজেই এটি বের করা যায় ভেক্টরের ডট গুণের (Dot Product) সাহায্য নিয়ে:

• ধরি, প্রথম ভেক্টর $\vec{A} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ এবং দ্বিতীয় ভেক্টর $\vec{B} = -\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$।
• এখন ভেক্টর দুটির ডট গুণফল বের করি:
  $\vec{A} \cdot \vec{B} = (1)(-1) + (-1)(1) + (1)(2) = -1 - 1 + 2 = 0$
• যেহেতু ডট গুণফলের মান $0$ এসেছে, তাই নিশ্চিতভাবেই বলা যায় ভেক্টরদ্বয় পরস্পরের উপর লম্ব।
• আর লম্ব হওয়ার কারণে এদের মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ হলো $90^\circ$।