y 2 = x পরাবৃত্ত এবং y=x সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল -

এখানে সঠিক উত্তর হলো $\frac{1}{6}$ বর্গ একক। খুব সহজেই এটি বের করা যায়:

• প্রথমে পরাবৃত্ত $y^2 = 4ax$ এবং সরলরেখা $y = mx$ এর ক্ষেত্রে আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের শর্টকাট সূত্রটি মনে রাখি, যা হলো $\frac{8a^3}{3m^3}$।
• প্রদত্ত সমীকরণ দুটি হলো $y^2 = x$ এবং $y = x$।
• এখানে $y^2 = 1 \cdot x$ থেকে পাই, $4a = 1 \implies a = \frac{1}{4}$ এবং সরলরেখা থেকে পাই, $m = 1$।
• শর্টকাট সূত্রটিতে মানগুলো বসিয়ে পাই, ক্ষেত্রফল = $\frac{8 \times (\frac{1}{4})^3}{3 \times (1)^3} = \frac{8 \times \frac{1}{64}}{3} = \frac{\frac{1}{8}}{3} = \frac{1}{24}$ নয়, বরং আদর্শ নিয়মে ছেদবিন্দু বের করে ইন্টিগ্রেশন করলে সরাসরি মান পাওয়া যায় $\int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x) \, dx$।
• ইন্টিগ্রেশন করলে পাই, $\left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4 - 3}{6} = \frac{1}{6}$ বর্গ একক।