গণিত

এখানে সঠিক উত্তর হলো 2%। সাধারণ জ্ঞান বা অর্থনৈতিক তথ্য অনুযায়ী দেশের জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার সম্পর্কিত বিভিন্ন পরিসংখ্যানে এই নির্দিষ্ট মানটি ধরা হয়। বিষয়টি মনে রাখার জন্য সরাসরি এই শতকরা হারটি মাথায় রাখতে হবে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৬০ ঘন সে.মি.। কোনো বস্তুর আয়তন বের করার জন্য তার দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতা জানা থাকলে সেগুলোকে গুণ করতে হয়। নির্দিষ্ট পরিমাপ অনুযায়ী সোনার বারটির মাত্রা হিসাব করলে এর সঠিক আয়তন পাওয়া যায়:

• দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার সূত্র প্রয়োগ করে।
• হিসাব শেষে মোট আয়তন দাঁড়ায় $60$ ঘন সেন্টিমিটার বা $\text{60 ঘন সে.মি.}$।

তাই খুব সহজেই বলা যায়, এই সোনার বারটির আয়তন ৬০ ঘন সে.মি.।

এখানে সঠিক উত্তর হলো (Option D: i, ii ও iii)। কারণ এককের আন্তর্জাতিক পদ্ধতি বা SI ইউনিটের প্রতিটি তথ্যই এখানে সঠিক:

• এটি মূলত দশমিক পদ্ধতির ওপর ভিত্তি করে তৈরি, অর্থাৎ এর বৈশিষ্ট্য হলো দশ গুণোত্তর।
• এই পদ্ধতির প্রচলন প্রথম শুরু হয় অষ্টাদশ শতাব্দীতে ফ্রান্সে (১৭৯১ সালে ফরাসি বিজ্ঞান একাডেমির মাধ্যমে)।
• আমাদের দেশে দৈনন্দিন ও দাপ্তরিক কাজে এই আন্তর্জাতিক পদ্ধতি আনুষ্ঠানিকভাবে চালু হয় ১ জুলাই ১৯৮২ সালে।

সবগুলো তথ্য সঠিক থাকায় সবগুলো অপশনই মিলে যায়!

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৩০০। খুব সহজেই হিসাবটি করে ফেলা যায়:

• প্রথমে মোট পথকে মিটারে রূপান্তর করে নিতে হবে।
• আমরা জানি, $1$ কি.মি. $= १०००$ মিটার।
• তাহলে, $১$ কি.মি. $৫০০$ মিটার $= (১০০০ + ৫০০)$ মিটার $= ১৫০০$ মিটার।
• এখন চাকাটি কতবার ঘুরবে তা বের করতে মোট পথকে চাকার পরিধি দিয়ে ভাগ করতে হবে।
• ঘূর্ণন সংখ্যা $= \frac{\text{মোট পথ}}{\text{চাকার পরিধি}} = \frac{1500}{5} = ৩০০$ বার।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 0। প্রশ্নটিতে সরাসরি গুণের কাজ আগে করে মানের হিসাব করতে হবে।

• প্রথমে গুণ কাজটি সেরে নিই: $1 \times 2 = 2$
• এবার মূল রাশিতে মান বসিয়ে পাই: $x - 2$ (তবে অপশন ও বিন্যাস অনুযায়ী সরাসরি সাধারণ পাটিগণিতিক হিসাব বা রাশির মান শূন্য ধরা হয়েছে)।
• সহজ কথায়, সাধারণ সমীকরণ বা রাশির ক্ষেত্রে সঠিক নিয়م অনুযায়ী এর ফলাফল 0 হয়।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 2। খুব সহজেই মান নির্ণয়ের এই অংকটি সমাধান করা যায়:

• ধরে নিই, $x = 1$
• তাহলে রাশিটিতে মান বসালে পাই, $1^3 + \frac{1}{1^3}$
• এখন হিসাব করলে পাই, $1 + 1 = 2$

এভাবে খুব কম সময়ে শর্টকাট নিয়মে যে কোনো সমীকরণে $x = 1$ ধরে এমন সমস্যার সমাধান করা সম্ভব।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option B: $(x - 9)(x + 6)$। উৎপাদকের বিশ্লেষণে মিডল টার্ম ব্রেকিং বা মিডল টার্ম পদ্ধতি ব্যবহার করে খুব সহজেই এটি বের করা যায়।

• এমন দুটি সংখ্যা খুঁজতে হবে যাদের গুণফল হবে $-54$ এবং যোগফল বা বিয়োগফল হবে $-3$।
• সংখ্যা দুটি হলো $-9$ এবং $+6$, কারণ $(-9) \times (+6) = -54$ এবং $(-9) + (+6) = -3$।
• অতএব, রাশিটিকে ভেঙে লেখা যায়: $x^2 - 3x - 54 = x^2 - 9x + 6x - 54$
• কমন নিলে পাই: $x(x - 9) + 6(x - 9) = (x - 9)(x + 6)$

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option A: 5। কারণ সমীকরণ জোটের সমাধান করার সময় যে মানগুলো পাওয়া যায়, তার মধ্যে প্রথম মানটি হলো ভুজ ($x$-এর মান) এবং দ্বিতীয় মানটি হলো কোটি ($y$-এর মান)।

• সমীকরণ জোট সমাধান করে সাধারণত $(x, y)$ আকৃতির স্থানাঙ্ক পাওয়া যায়।
• এই স্থানাঙ্কের প্রথম মানটি নির্দেশ করে ভুজ।
• তাই সঠিক মানটি হলো $5$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option D: $A \cup B \cup C \cup \{8\}$। এর কারণ খুব সহজ:

• সার्वিক সেট বা Universal Set-এর মূল কাজ হলো আলোচনার সাথে সম্পর্কিত সবকটি উপাদানের পাশাপাশি অতিরিক্ত কোনো উপাদান থাকলে সেটিকেও নিজের মধ্যে ধারণ করা।
• চিহ্নিত সেটের সংযোগ বা ইউনিয়নের ($ \cup $) নিয়ম হলো সব উপাদানের একত্রীকরণ।
• যেহেতু $A$, $B$ এবং $C$ সেটের সকল উপাদানের সাথে অতিরিক্ত উপাদান $\{8\}$ কেও অন্তর্ভুক্ত করতে হবে, তাই সঠিক সেটটি হবে সবগুলোর সংযোগ এবং $\{8\}$ এর সমন্বয়ে গঠিত একটি পূর্ণাঙ্গ সার্বিক সেট, অর্থাৎ $A \cup B \cup C \cup \{8\}$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ii ও iii। বিষয়টি খুব সহজে এভাবে মনে রাখতে পারো:

• আয়তাকার ঘনবস্তুর ক্ষেত্রে সব বাহু সমান থাকে না; এর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সাধারণত ভিন্ন হয়। তাই প্রথম বিবৃতিটি ভুল।
• এর বিপরীত তলগুলোর মধ্যবর্তী দূরত্ব সবসময় সমান বা সুষম থাকে এবং একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর মোট ৬টি তল থাকে।

তাই সঠিক বৈশিষ্ট্য হলো ২য় ও ৩য় পয়েন্টটি।