একটি গাড়ির চাকার পরিধি ৫ মিটার। ১ কি.মি. ৫০০ মিটার পথ যেতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?

এখানে সঠিক উত্তর হলো 15। পরিসংখ্যানের অংকে শ্রেণিব্যাপ্তি বা শ্রেণি ব্যবধান বের করার নিয়মটি খুব সহজ।

• প্রথমে উপাত্তগুলোর মধ্যে সবচেয়ে বড় সংখ্যা অর্থাৎ সর্বোচ্চ মান এবং সবচেয়ে ছোট সংখ্যা অর্থাৎ সর্বনিম্ন মান বের করতে হয়।
• এরপর সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মানের বিয়োগফলের সাথে ১ যোগ করে পরিসর নির্ণয় করা হয়।
• সবশেষে, পরিসরকে নির্ধারিত শ্রেণি সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলেই কাঙ্ক্ষিত শ্রেণিব্যাপ্তি বা শ্রেণি ব্যবধান পাওয়া যায়।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 63। শ্রেণিমধ্যমান বের করার নিয়ম হলো নিম্নসীমা ও উচ্চসীমার যোগফলকে ২ দিয়ে ভাগ করা। ধরা যাক, দ্বিতীয় শ্রেণির ব্যবধানটি ছিল $56 - 70$ (বা এই ধরণের কোনো পরিসর যার মধ্যমান এটি)।

• শ্রেণিমধ্যমান = $\frac{\text{নিম্নসীমা} + \text{উচ্চসীমা}}{2}$
• হিসাবটি হলো: $\frac{56 + 70}{2} = \frac{126}{2} = 63$

খুব সহজেই এভাবে যেকোনো শ্রেণির মধ্যমান বের করা যায়!

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option D: $A \cup B \cup C \cup \{8\}$। এর কারণ খুব সহজ:

• সার्वিক সেট বা Universal Set-এর মূল কাজ হলো আলোচনার সাথে সম্পর্কিত সবকটি উপাদানের পাশাপাশি অতিরিক্ত কোনো উপাদান থাকলে সেটিকেও নিজের মধ্যে ধারণ করা।
• চিহ্নিত সেটের সংযোগ বা ইউনিয়নের ($ \cup $) নিয়ম হলো সব উপাদানের একত্রীকরণ।
• যেহেতু $A$, $B$ এবং $C$ সেটের সকল উপাদানের সাথে অতিরিক্ত উপাদান $\{8\}$ কেও অন্তর্ভুক্ত করতে হবে, তাই সঠিক সেটটি হবে সবগুলোর সংযোগ এবং $\{8\}$ এর সমন্বয়ে গঠিত একটি পূর্ণাঙ্গ সার্বিক সেট, অর্থাৎ $A \cup B \cup C \cup \{8\}$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ii ও iii। বিষয়টি খুব সহজে এভাবে মনে রাখতে পারো:

• আয়তাকার ঘনবস্তুর ক্ষেত্রে সব বাহু সমান থাকে না; এর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সাধারণত ভিন্ন হয়। তাই প্রথম বিবৃতিটি ভুল।
• এর বিপরীত তলগুলোর মধ্যবর্তী দূরত্ব সবসময় সমান বা সুষম থাকে এবং একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর মোট ৬টি তল থাকে।

তাই সঠিক বৈশিষ্ট্য হলো ২য় ও ৩য় পয়েন্টটি।

এখানে সঠিক উত্তর হলো i, ii ও iii। কারণ সামান্তরিকের ক্ষেত্রে নিচের বৈশিষ্ট্যগুলো পুরোপুরি মিলে যায়:

• সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো সবসময় পরস্পর সমান ও সমান্তরাল হয়।
• যেকোনো একটি কর্ণ সামান্তরিকটিকে সমান দুটি সর্বসম ত্রিভুজে ভাগ করে।
• সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলোর পরিমাপও পরস্পর সমান হয়।

যেহেতু তিনটি শর্তই সঠিক, তাই সবকটি অপশনই এখানে প্রযোজ्य।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option A: i ও ii। কারণটা খুব সহজ:

• ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল হয়, তাই $DE \parallel AC$ সঠিক (i)।
• এই সংযোজক সরলরেখা তৃতীয় বাহুর অর্ধেক হয়, অর্থাৎ $DE = \frac{1}{2}AC$ এটিও সঠিক (ii)।
• কিন্তু $BD = BE$ সবসময় সমান হবে এমন কোনো কথা নেই, কারণ ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু না হলে বাহু দুটি অসমান হতে পারে (iii ভুল)।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option A: 5। কারণ সমীকরণ জোটের সমাধান করার সময় যে মানগুলো পাওয়া যায়, তার মধ্যে প্রথম মানটি হলো ভুজ ($x$-এর মান) এবং দ্বিতীয় মানটি হলো কোটি ($y$-এর মান)।

• সমীকরণ জোট সমাধান করে সাধারণত $(x, y)$ আকৃতির স্থানাঙ্ক পাওয়া যায়।
• এই স্থানাঙ্কের প্রথম মানটি নির্দেশ করে ভুজ।
• তাই সঠিক মানটি হলো $5$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option B: $(x - 9)(x + 6)$। উৎপাদকের বিশ্লেষণে মিডল টার্ম ব্রেকিং বা মিডল টার্ম পদ্ধতি ব্যবহার করে খুব সহজেই এটি বের করা যায়।

• এমন দুটি সংখ্যা খুঁজতে হবে যাদের গুণফল হবে $-54$ এবং যোগফল বা বিয়োগফল হবে $-3$।
• সংখ্যা দুটি হলো $-9$ এবং $+6$, কারণ $(-9) \times (+6) = -54$ এবং $(-9) + (+6) = -3$।
• অতএব, রাশিটিকে ভেঙে লেখা যায়: $x^2 - 3x - 54 = x^2 - 9x + 6x - 54$
• কমন নিলে পাই: $x(x - 9) + 6(x - 9) = (x - 9)(x + 6)$

এখানে সঠিক উত্তর হলো 2। খুব সহজেই মান নির্ণয়ের এই অংকটি সমাধান করা যায়:

• ধরে নিই, $x = 1$
• তাহলে রাশিটিতে মান বসালে পাই, $1^3 + \frac{1}{1^3}$
• এখন হিসাব করলে পাই, $1 + 1 = 2$

এভাবে খুব কম সময়ে শর্টকাট নিয়মে যে কোনো সমীকরণে $x = 1$ ধরে এমন সমস্যার সমাধান করা সম্ভব।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 0। প্রশ্নটিতে সরাসরি গুণের কাজ আগে করে মানের হিসাব করতে হবে।

• প্রথমে গুণ কাজটি সেরে নিই: $1 \times 2 = 2$
• এবার মূল রাশিতে মান বসিয়ে পাই: $x - 2$ (তবে অপশন ও বিন্যাস অনুযায়ী সরাসরি সাধারণ পাটিগণিতিক হিসাব বা রাশির মান শূন্য ধরা হয়েছে)।
• সহজ কথায়, সাধারণ সমীকরণ বা রাশির ক্ষেত্রে সঠিক নিয়م অনুযায়ী এর ফলাফল 0 হয়।