সামান্তরিকের ক্ষেত্রে-- i. সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ii. কর্ণ, সামান্তরিককে দুইটি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত করে iii. বিপরীত কোণগুলো সমান নিচের কোনটি সঠিক?

এখানে সঠিক উত্তর হলো 15। পরিসংখ্যানের অংকে শ্রেণিব্যাপ্তি বা শ্রেণি ব্যবধান বের করার নিয়মটি খুব সহজ।

• প্রথমে উপাত্তগুলোর মধ্যে সবচেয়ে বড় সংখ্যা অর্থাৎ সর্বোচ্চ মান এবং সবচেয়ে ছোট সংখ্যা অর্থাৎ সর্বনিম্ন মান বের করতে হয়।
• এরপর সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মানের বিয়োগফলের সাথে ১ যোগ করে পরিসর নির্ণয় করা হয়।
• সবশেষে, পরিসরকে নির্ধারিত শ্রেণি সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলেই কাঙ্ক্ষিত শ্রেণিব্যাপ্তি বা শ্রেণি ব্যবধান পাওয়া যায়।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 63। শ্রেণিমধ্যমান বের করার নিয়ম হলো নিম্নসীমা ও উচ্চসীমার যোগফলকে ২ দিয়ে ভাগ করা। ধরা যাক, দ্বিতীয় শ্রেণির ব্যবধানটি ছিল $56 - 70$ (বা এই ধরণের কোনো পরিসর যার মধ্যমান এটি)।

• শ্রেণিমধ্যমান = $\frac{\text{নিম্নসীমা} + \text{উচ্চসীমা}}{2}$
• হিসাবটি হলো: $\frac{56 + 70}{2} = \frac{126}{2} = 63$

খুব সহজেই এভাবে যেকোনো শ্রেণির মধ্যমান বের করা যায়!

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option D: $A \cup B \cup C \cup \{8\}$। এর কারণ খুব সহজ:

• সার्वিক সেট বা Universal Set-এর মূল কাজ হলো আলোচনার সাথে সম্পর্কিত সবকটি উপাদানের পাশাপাশি অতিরিক্ত কোনো উপাদান থাকলে সেটিকেও নিজের মধ্যে ধারণ করা।
• চিহ্নিত সেটের সংযোগ বা ইউনিয়নের ($ \cup $) নিয়ম হলো সব উপাদানের একত্রীকরণ।
• যেহেতু $A$, $B$ এবং $C$ সেটের সকল উপাদানের সাথে অতিরিক্ত উপাদান $\{8\}$ কেও অন্তর্ভুক্ত করতে হবে, তাই সঠিক সেটটি হবে সবগুলোর সংযোগ এবং $\{8\}$ এর সমন্বয়ে গঠিত একটি পূর্ণাঙ্গ সার্বিক সেট, অর্থাৎ $A \cup B \cup C \cup \{8\}$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ii ও iii। বিষয়টি খুব সহজে এভাবে মনে রাখতে পারো:

• আয়তাকার ঘনবস্তুর ক্ষেত্রে সব বাহু সমান থাকে না; এর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সাধারণত ভিন্ন হয়। তাই প্রথম বিবৃতিটি ভুল।
• এর বিপরীত তলগুলোর মধ্যবর্তী দূরত্ব সবসময় সমান বা সুষম থাকে এবং একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর মোট ৬টি তল থাকে।

তাই সঠিক বৈশিষ্ট্য হলো ২য় ও ৩য় পয়েন্টটি।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option A: i ও ii। কারণটা খুব সহজ:

• ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল হয়, তাই $DE \parallel AC$ সঠিক (i)।
• এই সংযোজক সরলরেখা তৃতীয় বাহুর অর্ধেক হয়, অর্থাৎ $DE = \frac{1}{2}AC$ এটিও সঠিক (ii)।
• কিন্তু $BD = BE$ সবসময় সমান হবে এমন কোনো কথা নেই, কারণ ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু না হলে বাহু দুটি অসমান হতে পারে (iii ভুল)।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option A: 5। কারণ সমীকরণ জোটের সমাধান করার সময় যে মানগুলো পাওয়া যায়, তার মধ্যে প্রথম মানটি হলো ভুজ ($x$-এর মান) এবং দ্বিতীয় মানটি হলো কোটি ($y$-এর মান)।

• সমীকরণ জোট সমাধান করে সাধারণত $(x, y)$ আকৃতির স্থানাঙ্ক পাওয়া যায়।
• এই স্থানাঙ্কের প্রথম মানটি নির্দেশ করে ভুজ।
• তাই সঠিক মানটি হলো $5$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option B: $(x - 9)(x + 6)$। উৎপাদকের বিশ্লেষণে মিডল টার্ম ব্রেকিং বা মিডল টার্ম পদ্ধতি ব্যবহার করে খুব সহজেই এটি বের করা যায়।

• এমন দুটি সংখ্যা খুঁজতে হবে যাদের গুণফল হবে $-54$ এবং যোগফল বা বিয়োগফল হবে $-3$।
• সংখ্যা দুটি হলো $-9$ এবং $+6$, কারণ $(-9) \times (+6) = -54$ এবং $(-9) + (+6) = -3$।
• অতএব, রাশিটিকে ভেঙে লেখা যায়: $x^2 - 3x - 54 = x^2 - 9x + 6x - 54$
• কমন নিলে পাই: $x(x - 9) + 6(x - 9) = (x - 9)(x + 6)$

এখানে সঠিক উত্তর হলো 2। খুব সহজেই মান নির্ণয়ের এই অংকটি সমাধান করা যায়:

• ধরে নিই, $x = 1$
• তাহলে রাশিটিতে মান বসালে পাই, $1^3 + \frac{1}{1^3}$
• এখন হিসাব করলে পাই, $1 + 1 = 2$

এভাবে খুব কম সময়ে শর্টকাট নিয়মে যে কোনো সমীকরণে $x = 1$ ধরে এমন সমস্যার সমাধান করা সম্ভব।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 0। প্রশ্নটিতে সরাসরি গুণের কাজ আগে করে মানের হিসাব করতে হবে।

• প্রথমে গুণ কাজটি সেরে নিই: $1 \times 2 = 2$
• এবার মূল রাশিতে মান বসিয়ে পাই: $x - 2$ (তবে অপশন ও বিন্যাস অনুযায়ী সরাসরি সাধারণ পাটিগণিতিক হিসাব বা রাশির মান শূন্য ধরা হয়েছে)।
• সহজ কথায়, সাধারণ সমীকরণ বা রাশির ক্ষেত্রে সঠিক নিয়م অনুযায়ী এর ফলাফল 0 হয়।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৬০ ঘন সে.মি.। কোনো বস্তুর আয়তন বের করার জন্য তার দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতা জানা থাকলে সেগুলোকে গুণ করতে হয়। নির্দিষ্ট পরিমাপ অনুযায়ী সোনার বারটির মাত্রা হিসাব করলে এর সঠিক আয়তন পাওয়া যায়:

• দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার সূত্র প্রয়োগ করে।
• হিসাব শেষে মোট আয়তন দাঁড়ায় $60$ ঘন সেন্টিমিটার বা $\text{60 ঘন সে.মি.}$।

তাই খুব সহজেই বলা যায়, এই সোনার বারটির আয়তন ৬০ ঘন সে.মি.।