উচ্চতর গণিত ১ম পত্র

এখানে সঠিক উত্তর হলো $\sin \frac{A}{2}$। খুব সহজেই এটি বের করা যায়:

• আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $A + B + C = 180^\circ$ হয়।
• উভয়পক্ষকে $2$ দ্বারা ভাগ করলে পাই, $\frac{B + C}{2} = 90^\circ - \frac{A}{2}$।
• এখন প্রদত্ত রাশিতে মান বসালে পাই, $\cos\left(\frac{B + C}{2}\right) = \cos\left(90^\circ - \frac{A}{2}\right)$।
• আমরা জানি, $\cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta$, তাই এর মান হবে $\sin \frac{A}{2}$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 25। ভেক্টরের ডট গুণফল বের করার নিয়মটি খুবই সহজ। দুটি ভেক্টরের ডট গুণফল বের করতে হলে তাদের অনুরূপ উপাংশগুলোর গুণফলের যোগফল নিতে হয়।

আমাদের দেওয়া আছে:

• $\vec{A} = 6\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$
• $\vec{B} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$

ডট গুণফলের সূত্র অনুযায়ী:

$$\vec{A} \cdot \vec{B} = (6 \times 2) + (3 \times 3) + (2 \times 2)$$

এখন হিসাবটি লক্ষ্য করুন:

• $6 \times 2 = 12$
• $3 \times 3 = 9$
• $2 \times 2 = 4$

সবগুলো যোগ করলে আমরা পাই, $12 + 9 + 4 = 25$। এভাবে খুব সহজেই যেকোনো ভেক্টরের ডট গুণফল নির্ণয় করা যায়।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option A। $2x + \frac{1}{x^{10}}$ এর বিস্তৃতিতে $x$ বর্জিত পদ (বা ধ্রুবক পদ) বের করার জন্য আমরা দ্বিপদী উপপাদ্যের সাধারণ পদের সূত্র ব্যবহার করতে পারি।

• প্রথমে সাধারণ পদের সূত্রটি লিখে $x$-এর সূচক শূন্য ($0$) ধরতে হবে।
• হিসেব করে সাধারণ পদ বা $r$-এর মান বের করতে হবে।
• $r$-এর সঠিক মান বসালেই খুব সহজে কাঙ্ক্ষিত মান অর্থাৎ $\frac{28}{27}$ পাওয়া যায়।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 240 মিটার/মিনিট। খুব সহজে এবং কম সময়ে এটি বের করতে গতির সূত্রটি ব্যবহার করতে হবে:

• আমরা জানি, বেগ বা গতিবেগ বের করার সূত্র হলো: $\text{বেগ} = \frac{\text{অতিক্রম করা দূরত্ব}}{\text{সময়}}$
• যেহেতু দূরত্ব মিটার এবং সময় মিনিটে দেওয়া আছে, তাই মানগুলো বসিয়ে খুব সহজেই প্রতি মিনিটের বেগ হিসাব করা যায়।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option A: \frac{3}{2}। বিষয়টি একটু খেয়াল করলেই খুব সহজে সমাধান করা যায়:

• ধারাটি হলো: $1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \frac{1}{3^4} + \dots$
• এটি একটি অনন্ত গুণোত্তর ধারা (Infinite Geometric Series), যার প্রথম পদ $a = 1$ এবং সাধারণ অনুপাত $r = \frac{1}{3}$ (যেহেতু $\frac{1}{3} < 1$, তাই অনন্ত পদের সমষ্টির সূত্র প্রযোজ্য)।
• অনন্ত পদের সমষ্টির সূত্রটি হলো: $S_\infty = \frac{a}{1 - r}$
• এখন মানগুলো বসিয়ে পাই: $$S_\infty = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$$

ব্যস, খুব সহজেই ধারাটির যোগফল পেয়ে গেলাম!

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option B: $2x \tan t$। এই ধরনের ডেরিভেটিভ বা অন্তরক বের করার অংকগুলো একটু কৌশল জানলে খুব সহজেই সমাধান করা যায়।

• প্রথমে প্রদত্ত রাশির ওপর ডিফারেন্সিয়েশনের সূত্র প্রয়োগ করতে হয়।
• শর্ত অনুযায়ী হিসাব করলে গাণিতিক ধাপগুলো শেষে সরাসরি সঠিক ফলাফল চলে আসে।
• সংক্ষিপ্ত নিয়মে মানগুলো বসিয়ে খুব দ্রুতই উত্তরটি বের করা সম্ভব।

এখানে সঠিক উত্তর হলো -300%। খুব সহজে এবং দ্রুত এটি বের করা যায়:

• প্রথমে সমীকরণটিকে সরলরেখার আদর্শ আকারে আনতে হবে: $-4x + 3y = 12$
• উভয়পক্ষকে $12$ দ্বারা ভাগ করে পাই: $\frac{x}{-3} + \frac{y}{4} = 1$
• এখানে এক্স অক্ষের খণ্ডিত অংশটি হলো $-3$।
• শতকরায় রূপান্তর করতে হলে $-3$ কে $100$ দ্বারা গুণ করতে হয়, যা হলো $-300\%$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো বিষমবাহু। ত্রিভুজটি গঠনকারী সরলরেখাগুলোর সমীকরণগুলো সমাধান করে বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য বের করলেই বিষয়টি পরিষ্কার হয়ে যাবে।

• প্রথমে প্রদত্ত সমীকরণগুলো থেকে ত্রিভুজটির তিনটি শীর্ষবিন্দু বের করে নিতে হয়।
• শীर्षবিন্দুগুলোর মধ্যকার দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্র $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ ব্যবহার করে বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য হিসাব করতে হবে।
• হিসাব করে দেখা যায়, ত্রিভুজটির তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যই সম্পূর্ণ আলাদা বা অসমান আসে।
• যেহেতু ত্রিভুজের কোনো বাহুই সমান নয়, তাই এটি একটি বিষমবাহু ত্রিভুজ।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option B: $\frac{1}{36}$। খুব সহজেই বিষয়টি এভাবে চিন্তা করা যায়:

• প্রথম ছক্কাটি নিক্ষেপ করলে যেকোনো একটি সংখ্যা আসবে।
• দ্বিতীয় ছক্কাটিতে প্রথম ছক্কার ঠিক একই সংখ্যা আসার সম্ভাবনা হলো $\frac{1}{6}$।
• তৃতীয় ছক্কাটিতেও প্রথম ছক্কার মতো একই সংখ্যা আসার সম্ভাবনাও হলো $\frac{1}{6}$।
• সুতরাং, তিনটিতেই একই সংখ্যা আসার মোট সম্ভাবনা = $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option C: 11 4। রাশিটির সর্বনিম্ন মান বের করার জন্য আমরা এটিকে পূর্ণবর্গ আকারে প্রকাশ করতে পারি:

• প্রদত্ত রাশিটি হলো: $3 + x + x^2$
• পদগুলো সাজিয়ে পাই: $x^2 + x + 3$
• পূর্ণবর্গ করার নিয়ম অনুযায়ী মাঝের সহق $1$-এর অর্ধেক $\frac{1}{2}$-এর বর্গ $\frac{1}{4}$ যোগ ও বিয়োগ করি: $$(x^2 + x + \frac{1}{4}) + 3 - \frac{1}{4}$$
• সূত্র প্রয়োগ করে পাই: $$(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{11}{4}$$
• যেহেতু বর্গ রাশির মান ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $(x + \frac{1}{2})^2$-এর সর্বনিম্ন মান $0$ হবে।
• সুতরাং, সম্পূর্ণ রাশিটির সর্বনিম্ন মান দাঁড়ায়: $0 + \frac{1}{4} = \frac{11}{4}$।