গণিত

এখানে সঠিক উত্তর হলো পূর্ণবর্গ, কারণ যেকোনো চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলের সাথে $1$ যোগ করলে যোগফল সবসময় একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয়।

বিষয়টি একটি ছোট উদাহরণের মাধ্যমে সহজে বুঝে নেওয়া যাক:

• ধরি, যেকোনো চারটি ক্রমিক সংখ্যা: $1, 2, 3, 4$
• সংখ্যা চারটির গুণফল: $1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$
• গুণফলের সাথে $1$ যোগ করলে হয়: $24 + 1 = 25$

এখানে $25 = 5^2$, অর্থাৎ প্রাপ্ত যোগফলটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা। বীজগণিতের নিয়ম অনুযায়ী সূত্রটি হলো: $$n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 = (n^2 + 3n + 1)^2$$

যেকোনো বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গ থেকে $1$ বিয়োগ করলে প্রাপ্ত বিয়োগফলটি সবসময় $4$ এবং $8$ উভয় সংখ্যা দ্বারাই নিঃশেষে বিভাজ্য হয়।

সহজ কিছু উদাহরণের মাধ্যমে বিষয়টি মিলিয়ে নেওয়া যাক:

• প্রথম বিজোড় সংখ্যা $3$ হলে: $3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$ (যা $4$ ও $8$ উভয় দ্বারা বিভাজ্য)
• পরের বিজোড় সংখ্যা $5$ হলে: $5^2 - 1 = 25 - 1 = 24$ (এটিও $4$ ও $8$ উভয় দ্বারা বিভাজ্য)
• একইভাবে $7$ নিলে: $7^2 - 1 = 49 - 1 = 48$ (যা $4$ ও $8$ উভয় দিয়ে ভাগ করা যায়)

যেহেতু প্রাপ্ত বিয়োগফলটি $8$ দিয়ে বিভাজ্য, তাই তা নিয়ম অনুযায়ী $4$ দিয়েও বিভাজ্য হবে। ফলে সঠিক উত্তর হলো খ ও গ উভয়ই।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 0.4142।

বিষয়টি হিসাব করা খুবই সহজ, শুধু $\sqrt{2}$ এর মানটি মনে রাখলেই চলবে:

• আমরা জানি, $\sqrt{2} \approx 1.4142$
• অতএব, $\sqrt{2} - 1$ এর মান হবে:

সুতরাং, নির্ণেয় মান 0.4142।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option B: 4 meter।

বর্গাকার কার্পেটের ক্ষেত্রে এক বাহুর দৈর্ঘ্য বের করার নিয়মটি খুবই সহজ— ক্ষেত্রফলের বর্গমূল করলেই উত্তর চলে আসে।

• যদি কার্পেটটির ক্ষেত্রফল $16 \text{ m}^2$ হয়, তবে—
• এক বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{16} \text{ m} = 4 \text{ m}$

সুতরাং, সহজ হিসেব অনুযায়ী কার্পেটের এক বাহুর দৈর্ঘ্য হবে $4$ মিটার।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৯৬ মিটার। খুব সহজে এবং দ্রুত অংকটি এভাবে সমাধান করা যায়:

• ধরি, ঘরটির প্রস্থ $x$ মিটার, তাহলে দৈর্ঘ্য হবে $2x$ মিটার।
• প্রশ্নমতে, ক্ষেত্রফল: $2x \times x = 512$
• বা, $2x^2 = 512$
• বা, $x^2 = 256$
• বা, $x = 16$ (অর্থাত্‍ প্রস্থ $16$ মিটার)।
• সুতরাং, দৈর্ঘ্য = $2 \times 16 = 32$ মিটার।
• এখন, পরিসীমা = $2 \times (32 + 16) = 2 \times 48 = 96$ মিটার।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১৮০ মিটার। পানির মতো সহজ এই হিসাবটি দেখে নিন:

• বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল $2025$ বর্গমিটার। সুতরাং, এর এক বাহুর দৈর্ঘ্য হবে $\sqrt{2025} = 45$ মিটার।
• বাগানের চারদিকের বেড়ার মোট দৈর্ঘ্য বের করতে মূলত বাগানটির পরিসীমা হিসাব করতে হয়।
• বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = $4 \times$ এক বাহুর দৈর্ঘ্য। অতএব, বেড়ার মোট দৈর্ঘ্য $4 \times 45 = 180$ মিটার।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৯৬ মিটার। হিসাবটা খুব সহজ, নিচে ধাপগুলো লক্ষ্য করো:

• ধরি, ঘরটির বিস্তার $x$ মিটার। তাহলে দৈর্ঘ্য হবে $2x$ মিটার।
• প্রশ্নানুসারে, ক্ষেত্রফল $x \times 2x = 512$ বা, $2x^2 = 512$
• বা, $x^2 = 256$ সুতরাং, $x = 16$ মিটার।
• তাহলে ঘরটির বিস্তার $16$ মিটার এবং দৈর্ঘ্য $2 \times 16 = 32$ মিটার।
• অতএব, পরিসীমা = $2 \times (32 + 16) = 2 \times 48 = 96$ মিটার।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১৬ কিমি। মিটারকে কিলোমিটারে রূপান্তর করার নিয়মটি খুব সহজ!

আমরা জানি, $1$ কিলোমিটার = $1000$ মিটার। তাই যেকোনো মিটারকে কিলোমিটারে নিতে হলে তাকে $1000$ দিয়ে ভাগ করতে হয়।

• দেওয়া আছে, মোট দূরত্ব = $16000$ মিটার
• কিলোমিটারে দূরত্ব = $\frac{16000}{1000} = 16$ কিলোমিটার

অতএব, শিহাব মোট ১৬ কিলোমিটার দৌড়েছিল।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১০ শত বা ১০০০। আন্তর্জাতিক সংখ্যা গণনার নিয়মটি জানা থাকলে এই হিসাব করা একদম সহজ:

• ১ মিলিয়ন = $10^6$ বা $1,000,000$
• ১ বিলিয়ন = $10^9$ বা $1,000,000,000$

তাহলে, ১ বিলিয়নে কত মিলিয়ন তা বের করতে ১ বিলিয়নকে ১ মিলিয়ন দিয়ে ভাগ করতে হবে:

$$\frac{1,000,000,000}{1,000,000} = 1,000$$

সুতরাং, ১ বিলিয়ন = ১০০০ মিলিয়ন।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১০ টাকা। অনুপাতের সহজ নিয়মে এটি মুহূর্তেই সমাধান করা সম্ভব:

• ধরি, খ-এর কাছে আছে $1$ অংশ টাকা।
• যেহেতু ক-এর টাকা খ-এর দ্বিগুণ, তাই ক-এর আছে $2$ অংশ টাকা।
• দুইজনের মোট টাকা হলো $(1 + 2) = 3$ অংশ।
• প্রশ্নমতে, এই $3$ অংশের মান হলো $30$ টাকা।

অতএব, খ-এর টাকার পরিমাণ ($1$ অংশ) হবে $\frac{30}{3} = 10$ টাকা।